分解因式难题.docx

因式分解的方法介绍
一、教学目标
1、知识目标
掌握因式分解的一些技巧 , 并会运用解决实际相关问题 .
2、能力目标
培养学生观察 , 比较, 类推的能力 .
3、情感目标 激发学生探究数学的动力 , 提高学生学****数学方法技巧的兴趣
二、教学重点难点
因式分解的技巧及其应用
三、教学方法
教师引导学生为主
四、教学过程
引入: 我们知道因式分解的常见方法有：提取公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法。 ( 对以上四种
方法通过提问学生来回忆旧知 )
除了这四种常见的方法外，在数学竞赛中还要用到下面的一些方法，现例析如下：
推广了的十字相乘法
根据十字相乘法的形式，将其对系数的要求推广到含有字母的式子，可将较为复杂的多项式分解因式
例 分解因式： x2 xy 6y2 x 13y 6 ( 希望杯赛题 )
解: 原式 =(x 2+xy-6y 2)+(x+13y)-6 ( 提示学生为什么要这样合并
= (x+3y)(x-2y)+(x+13y)-6 关键在于 x2+xy-6y 2可以分解 )
教学过程注意分析 :
=x+13y
x+3y -2
3(x+3y)-2(x-2y)
x-2y 3
22
练****题 ：分解因式： 4x 2 -4x-y 2 +4y=3 （02 年重庆赛题 ）
. 延拓了的公式法 在平方差公式、立方和与立方差公式的基础上，推导出了公式：
( 教学过程 : 给出平方差公式 , 立方和与立方差公式 , 并作一定形式上的分析 22
x y (x y)(x y)
x3 y3 (x y)(x2 mxy y2))
n n n1 n 2 n 3 2 n 2 n 1
x y (x y)(x x y x y L xy y )
n n n1 n 2 n3 2 n 2 n1
x y (x y)(x x y x y L xy y )
例 已知乘法公式：
a5 +b 5 =(a+b)(a 4-a3b+a2b2-ab3+b4) a5-b5=(a-b)(a
4+a3b+a2b2+ab3+b4)
利用或者不用上述公式分解因式：
x8+x6 +x4+x2+1 ( 祖冲之杯赛题 )
分析：题目对比 a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)
发现跟(a4 +a3b+a2b2+ab3 +b4)的类似找出规律.
解：x10-1=(x2)5-1=(x2-1)(x8+x6+x4+x2+1)
x8+x6+x4+x2+1 =
x10-1
x2-1
(x5-1)(x5+1)
(x-1)(x+1)
(x-1)(x 4+x3+x2+x+1) (x+1)(x 4-x3+x2-x+1)
x-1 x+1
/ 4 3 2 八/ 432 八
=(x +x +x +x+1)(x -x +x -x+1)
练****题：分解因式：1+x2 +x3+L +x15
三. 拓展了的分组分解法
⑴拆项（分组）法
把多项式里的某一项拆成两项或多项，使其能进行分组分解的一种方法。
例 分解因式： x4-7x 2+1 ( 祖冲之杯赛题 ) 解:
原式 =x 4 +2x 2 +1-9x 2 (即把 -7x 2拆成 -9x 2+2x 2 ) =(x 2 +1)2 -(3x) 2
22 =(x 2 +1+3x)(x 2 +1-3x)
⑵ 添项(分组)法 在多项式中适当地添上一些项，使其能转化为可进行分组分解的一种方法。
6 12
例 分解因式： 3x -x -1
解:原式=x6+2x6-x12-1
= x6-(x12-2x6 +1)
3 2 6 2 =(x3)2-(x6-1)2
3 6 3 6
=(x -x +1)(x +x -1)
练****x4+2x3+3x2+2x+1 (02年河南赛题)
3
② x 3 -9x+8 （ 祖冲之杯赛题 ）
. 换元法
换元法是一种重要的数学方法，在分解因式时，通过将原式的代数式用字母代替后，达到简化原式结构的目
的
例 1 分解因式： (x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x 2 ( 天津赛题 )
解:原式 =[(x+1)(x+6)][(x+2)(x+3)]+x
=(x 2 +7x+6)(x 2 +5x+6)+x
令 m=x 2+6