1993年考研数学试题答案及评分参考.pdf

郝海龙:考研数学复****大全·配套光盘·1993 年数学试题参考解答及评分标准

1993 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数学( 试卷一)
一、填空题:(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分)
x 1 1 1
(1) 函数 F(x) (2 )dt(x  0) 的单调减少区间为(0, ) .(答(0, ] 也对)
1 t 4 4
3xy22 2 12
(2) 由曲线绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点(0, 3, 2 )处的指向外侧
 z  0
1
的单位法向量为{0, 2, 3}
5
a 
(3) 设函数 f() x x x2  x 的傅里叶级数展开式为 0
an cosnx  bn sin nx
2 n1
2
则其中系数b 的值为
3 3
1
(4) 设数量场uln x2  y 2  z 2 ,则 div() gradu 
x2 y 2 z 2
(5) 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零,且 A 的秩为 n-1,则线性方程组 AX=0 的通解为
k  1,1,,1T
二、选择题:(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分)
sin x
(1) 设 f( x ) sin( t2 ) dt , g ( x )  x 3  x 4 ,则当 x 0 时, fx()是 gx()的(B)
 0
(A) 等价无穷小(B)同阶但非等价无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小
(2) 双纽线(x2  y2 )2  x2  y2 所围成的区域面积可用定积分表示为(A)

1 2
(A) 2 4 cos2d(B) 4 4 cos2d(C) 2 4 cos2 d(D) 4 cos2 d
0 0 0 2 0
x 1 y  5 z  8  x  y  6
(3) 设直线与,则 l 与l 的夹角为(C)
l1 :  l2 :  1 2
1  2 1 2y  z  3

(A) (B) (C) (D)
6 4 3 2
(4) 设曲线积分[ f (x)  e x ]sin ydx  f (x)cos ydy与路径无关,其中 fx()具有一阶连续
L
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导数,且 f (0) 0 ,则 fx()等于(B)
ex  e x e x  ex e x  ex e x  ex
(A) (B) (C) 1 (D) 1
2 2 2 2
1 2 3
(5) 已知 Q= ,P 为三阶非零矩阵,且满足 PQ = 0,则(C)
2 4 t 
3 6 9
(A) t6时 P 的秩必为 1 (B) t6时 P 的秩必为 2
(C) t6时 P 的秩必为 1 (D) t6时 P 的秩必为 2
三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)
21
(1) 求 lim(sin cos )x .
x xx
2 1 ln(sin 2tt cos )
解:因 limx ln(sin cos ) lim ……2 分
xtx x 0 t
2cos2tt sin
lim 2, ……4 分
t0 sin 2tt cos
所以原式 e2 . ……5 分
xex
(2) 求 dx.
e x 1
2 2u
解:令 x ,则 xln(1  u ), dx  du ,从而
ue1 1u2
xex (1 u22 )ln(1 u ) 2 u
dx du ……2 分
x 2
e 1 uu(1)
4u2
2 ln(1u2 ) du 2u ln(1  u22 )  du  2 u ln(1  u )  4 u  4 arctgu  C ……4 分
1u2
2x ex  1  4 e x  1  4 arctg e x  1  C . ……5 分
求微分方程 2 2 满足初始条件 y  1的特解.
(3) x y xy  y x1
y2  xy
解一: y ' ,令 y xu ,有 xu' u 