1991年考研数学试题答案及评分参考.pdf

郝海龙:考研数学复****大全·配套光盘·1991 年数学试题参考解答及评分标准

1991 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数学( 试卷一)
一、填空题:(本题满分 15 分,每小题 3 分)
x  1 t 2 d 2 y sint  t cost
(1) 设,则.
 2  3
 y  cost dx 4t
(2) 由方程 xyz  x2  y 2  z 2  2 所确定的函数 z z( x , y ) 在点(1,0, 1) 处的全微分
dz dx2 dy .
x1 y  2 z  3 x21 y z
(3) 已知直线 L1 和 L2 的方程 L : 和 L : ,则过 L1 且平
1 1 0 1 2 2 1 1
行于 L2 的平面方程是 x -3 y+z + 2 = 0 .
2
(4) 已知当 x  0 时, (1ax )1/2 1与 cosx  1是等阶无穷小,则常数 a 3/ 2 .
5 2 0 0 1 2 0 0
设阶方阵则的逆矩阵1 2 5 0 0
(5) 4 A = 2 1 0 0 , A A .
0 0 1  20 0 1/ 3 2 / 3

0 0 1 1 0 0 1/ 3 1/ 3
二、选择题:(本题满分 15 分,每小题 3 分)
2
1 ex
曲线( )
(1) y  2 D
1 ex
(A) 没有渐近线(B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线
2x t
(2) 若连续函数 f (x) 满足关系式 f (x)  f ( )dt  ln 2 ,则 f (x) 等于(B)
0 2
(A) e x ln 2 (B) e 2x ln 2 (C) e x  ln 2 (D) e 2x  ln 2 .

(3) 已知级数 n1 , 则级数 a 等于(C)
(1) an  2,a2n1  5  n
n1 n1 n1
(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9
(4) 设 D 是 XOY 平面上以(1,1), (-1,1) 和(-1,-1)为顶点的三角区域,D1 是 D 在第一象限的
部分,则(xy cos x sin y ) dxdy 等于(A)
D
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(A) 2 cosx sin ydxdy (B) 2 xydxdy (C) 4 (xy cos x sin y ) dxdy (D) 0.
D D D
1 1 1
(5) 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC = E, 其中 E 是 n 阶单位阵,则必有(D)
(A) ACB = E (B) CBA = E (C) BAC = E (D) BCA = E
三、(本题满分 15 分,每小题 3 分)

(1) 求 lim (cosx ) x
x0

lncx os lim lncx os
解原式 lim e x  ex0 x „„ 2 分
x0
sinx 1
lim
 e x0cosxx 2 „„ 4 分


 e 2 . „„ 5 分

(2) 设 n 是曲面 2x2 3y2  z 2  6 在点 P(1,1,1)处的指向外测的法向量,求函数
6x 2  8y 2 
u 在点 P 处沿方向 n 的方向导数
z 
解: n4 i  6 j  2 k . „„ 1 分
u 66x u 88y
, ,
22 22
x P zx68 y 14 y zx68 y 14
P P P
u 68xy22
„„分
2  14 . 3
z P z
P
u  u u  u 
从而[ cos(n , i )  cos( n , j )  cos( n , k )]
n PPx  y  z
6 2 8 3 2 11
14 . „„ 5 分
14 14 14 14 14 7
2
2 2 y  2z
(3) 求