龙格库塔.doc

数值分析中,龙格-库塔法(Runge-Kutta)是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。经典四阶龙格库塔法龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用,以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。令初值问题表述如下。则,对于该问题的RK4由如下方程给出:其中这样,下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均:k1是时间段开始时的斜率;k2是时间段中点的斜率,通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn+h/2的值;k3也是中点的斜率,但是这次采用斜率k2决定y值;k4是时间段终点的斜率,其y值用k3决定。当四个斜率取平均时,中点的斜率有更大的权值:RK4法是四阶方法,也就是说每步的误差是h5阶,而总积累误差为h4阶。注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。显式龙格库塔法显示龙格-库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出其中(注意:上述方程在不同著述中由不同但却等价的定义)。要给定一个特定的方法,必须提供整数s(阶段数),以及系数aij(对于1≤j<i≤s),bi(对于i=1,2,...,s)和ci(对于i=2,3,...,s)。这些数据通常排列在一个助记工具中,称为龙格库塔表:0c2a21c3a31a32csas1as2as,s−1b1b2bs−1bs龙格库塔法是自洽的,如果如果要求方法有精度p则还有相应的条件,也就是要求舍入误差为O(hp+1)时的条件。这些可以从舍入误差本身的定义中导出。例如,一个2阶精度的2段方法要求b1+b2=1,b2c2=1/2,以及b2a21=1/2。在Matlab下输入:edit,然后将下面两行百分号之间的内容,复制进去,保存%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%functiondxdt=ode_Miss_ghost(t,x)%分别用x(1),x(2),x(3),x(4)代替N1,P1,N2,P2N1=x(1);P1=x(2);N2=x(3);P2=x(4);K=2;tau_c=3e-9;tan_p=6e-12;beta=5e-5;delta=;eta=;fm=8e6;Ith=26e-3;Ib=*Ith;Im=*Ith;I1=Ib+Im*sin(2*pi*fm*t)+K*P2;I2=Ib+Im*sin(2*pi*fm*t)+K*P1;dxdt=[(I1/Ith-N1-(N1-delta)/(1-delta)*P1)/tau_e;((N1-delta)/(1-delta)*(1-eta*P1)*P1-P1+beta*N1)/tau_p;(I2/Ith-N2-(N2-delta)/(1-delta)*P2)/tau_e;((N2-delta)/(1-delta)*(1-eta*P2)*P2-P2+beta*N2)/tau_p;];%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%在Matlab下面输入:t_start=0;t_end=2e-9;y0=[1e-3;1e-4;0;0];%初值[x,y]=ode15s('ode_Miss_ghost',[0,t_end],y0);plot(x,y);legend('N1','P1','N2','P2');xlabel('x');Mathlab定步长龙格-库塔法[345阶]、自适应步长rkf45经常看到很多朋友问定步长的龙格库塔法设置问题,下面吧定步长三阶、四阶、五阶龙格库塔程序贴出来,有需要的可以看看ODE3三阶龙格-库塔法CODE:functionY=ode3(odefun,tspan,y0,varargin)%ODE3Solvedifferentialequationswithanon-adaptivemethodoforder3.%Y=ODE3(ODEFUN,TSPAN,Y0)withTSPAN=[T1,T2,T3,...TN]integrates%thesystemofdifferentialequationsy'=f(t,y)bysteppingfromT0to%(T,Y)mustreturnf(t,y)inacolumnvector.%%arrayYcorrespondstoatimespecifiedinTSPAN.