龙格库塔方法.pptx

Runge-Kuttua方法和matlab原理龙格-库塔法(Runge-Kutta)数值分析中,龙格-库塔法(Runge-Kutta)是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。经典四阶龙格库塔法龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用,以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。四阶Runge-Kutta方法这样,下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均:k1是时间段开始时的斜率;k2是时间段中点的斜率,通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn+h/2的值;k3也是中点的斜率,但是这次采用斜率k2决定y值;k4是时间段终点的斜率,其y值用k3决定。当四个斜率取平均时,中点的斜率有更大的权值:误差分析:注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。四阶R-K方法的每一步需要计算四次函数值f,可以证明其局部截断误差为O(h5).R-K(高阶)方法不唯一,选择不同的参数能得到不同的R-K公式注意的问题R-K方法的推导是基于Taylor展开法,因而要求解具有较好的光滑性,如果光滑性较差精度可能不如改进Euler方法,最好采用低阶算法而将步长h取小。Runge-Kutta法的主要运算在于计算Ki的值,即计算f的值。计算量与可达到的最高精度阶数的关系:753可达到的最高精度642每步须算Ki的个数四阶Runge-Kutta方法的MATLAB实现原理:四阶R-K方法实现开始输出x1,y1结束YNfunctionff=rk(yy,x0,y0,h,a,b)%yy为y的导函数,x0,y0,为初值,h为步长,a,b为区间c=(b-a)/h+1;i1=1;%c为迭代步数;i1为迭代步数累加值y=y0;z=zeros(c,6);%z生成c行,6列的零矩阵存放结果;%每行存放c次迭代结果,每列分别存放k1~k4及y的结果