龙格库塔.ppt

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龙格-库塔方法
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显式龙格-库塔法的一般形式
上节给出了显式单步法的表达式
其局部截断误差为
对欧拉法 ，即方法为 阶.
（）
若用改进欧拉法，它可表示为
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此时增量函数
（）
与欧拉法的 相比，增加了计算一个
右函数 的值，可望 .
若要使得到的公式阶数 更大， 就必须包含更多的
值.
（）
从方程 等价的积分形式（），即
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若要使公式阶数提高，就必须使右端积分的数值求积公式
精度提高，必然要增加求积节点.
为此可将（）的右端用求积公式表示为
点数 越多，精度越高，
上式右端相当于增量函数 ，
为得到便于计算的显式方法，可类似于改进欧拉法，将公式表示为
（）
其中
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（）
这里 均为常数.
()和()称为 级显式龙格-库塔（Runge-Kutta）法，
简称R-K方法.
当 时，就是欧拉法，
此时方法的阶为 .
当 时，改进欧拉法()，()也是其中的一种.
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下面将证明阶 .
要使公式(),()具有更高的阶 ,就要增加点数 .
下面就 推导R-K方法.
（）
（）
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二阶显式R-K方法
对 的R-K方法，计算公式如下
（）
这里 均为待定常数.
希望适当选取这些系数，使公式阶数 尽量高.
根据局部截断误差的定义，（）的局部截断误差为
（）
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这里 .
为得到 的阶 ，要将上式各项在 处做泰
勒展开，
由于 是二元函数，故要用到二元泰勒展开，
其中
各项展开式为
（）
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将以上结果代入局部截断误差公式则有
要使公式（）具有 阶，必须使
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即
（）的解是不惟一的.
令 ，则得
这样得到的公式称为二阶R-K方法，
如取 ，则
这就是改进欧拉法（）.
（）