龙格库塔法.doc

龙格-库塔法格-库塔法(Runge-Kutta)数值分析中,龙格-库塔法(Runge-Kutta)是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。经典四阶龙格库塔法龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用,以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。令初值问题表述如下。则,对于该问题的RK4由如下方程给出:其中这样,下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均:k1是时间段开始时的斜率;k2是时间段中点的斜率,通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn+h/2的值;k3也是中点的斜率,但是这次采用斜率k2决定y值;k4是时间段终点的斜率,其y值用k3决定。当四个斜率取平均时,中点的斜率有更大的权值:RK4法是四阶方法,也就是说每步的误差是h5阶,而总积累误差为h4阶。注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。显式龙格库塔法显示龙格-库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出其中(注意:上述方程在不同著述中由不同但却等价的定义)。要给定一个特定的方法,必须提供整数s(阶段数),以及系数aij(对于1≤j<i≤s),bi(对于i=1,2,...,s)和ci(对于i=2,3,...,s)。这些数据通常排列在一个助记工具中,称为龙格库塔表:0c2a21c3a31a32csas1as2as,s−1b1b2bs−1bs龙格库塔法是自洽的,如果如果要求方法有精度p则还有相应的条件,也就是要求舍入误差为O(hp+1)时的条件。这些可以从舍入误差本身的定义中导出。例如,一个2阶精度的2段方法要求b1+b2=1,b2c2=1/2,以及b2a21=1/2。