龙格库塔法.pptx

流场流体运动所占据的空间称为流场。用欧拉法描述的流体质点运动,其流速、压强等函数定义在时间和空间点坐标场上的流速场、压强场等的统称。定义某一时刻气流的空间分布。速度场是由每一时刻、每一点上的速度矢量组成的物理场。以流体为例,速度场是指流体流动前沿的矢量速度分布。空间中所有各点在同一时刻的流体速度矢量分布状态。流线任一时刻流体的速度在空间上是连续分布的,如果t时刻空间一条曲线在该曲线上任何一点A上的切线和A点处流体质点的速度方向相同,则称这条曲线为时刻t的流线。流线是同一时刻不同流体质点所组成的曲线,它给出该时刻不同流体质点的速度方向。迹线是流体质点在空间运动时所描绘出来的曲线。,可绘出一系列的流线,称为流线簇。流线簇的疏密程度反映了该时刻流场中速度的不同。,流线的形状随时间改变:对于定常流,流线的形状和位置不随时间而变化。。,流线不能相交,不能折转,只能是一条光滑曲线。龙格库塔法龙格库塔法是一种高精度的单步算法。考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式,构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合,从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在[xi,xi+1]这一步内多计算几个点的斜率值,然后将其进行加权平均作为平均斜率,则可构造出更高精度的计算格式,这就是龙格—库塔(Runge-Kutta)法的基本思想。5Runge-Kutta方法的推导思想对于常微分方程的初值问题的解y=y(x),在区间[xi,xi+1]上使用微分中值定理,有即2020/2/236引入记号就可得到相应的Runge-Kutta方法2020/2/237如下图即则上式化为即Euler方法Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法2020/2/—库塔法在[xi,xi+1]上取两点xi和xi+a2=xi+a2h,以该两点处的斜率值K1和K2的加权平均(或称为线性组合)来求取平均斜率k*的近似值K,即式中:K1为xi点处的切线斜率值K1=hf(xi,yi)=hy'(xi)K2为xi+a2h点处的切线斜率值,比照改进的欧拉法,将xi+a2视为xi+1,即可得2020/2/238确定系数c1、c2、a2、b21,可得到有2阶精度的算法格式2020/2/239因此将y(xi+1)在x=xi处进行Taylor展开:将在x=xi处进行Taylor展开:2020/2/2310K1=hf(xi,yi)