2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数三）.doc

2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析(数三)
选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。
(1)是在内单调增加的连续函数,对任何,记,,则必有( )
(A);(B);(C);(D);
(2)设函数在内连续,在内可导,函数的图像为
x
y
O
则其导数的图像为( )
y
x
O
y
x
O
(A) (B)
y
x
O
y
x
O
(C) (D)
(3)设有下列命题:
①若收敛,则收敛; ②若收敛,则收敛;
③若,则发散; ④若收敛,则,收敛
正确的是( )
(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④
(4)设,则( )
(A);(B);(C);(D)
(5)设是阶矩阵,齐次线性方程组(I)有非零解,则非齐次线性方程组(II),对任何
(A)不可能有唯一解; (B)必有无穷多解;
(C)无解; (D)可能有唯一解,也可能有无穷多解
(6)设均是阶可逆矩阵,则行列式的值为
(A); (B); (C); (D)
(7)总体,为来自的样本,为样本均值,则( )
(A); (B);
(C); (D);
(8)设随机变量相互独立且均服从正态分布,若概率则( )
(A);(B);(C);(D);
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。把答案填在题中的横线上。
(9)已知,,则。
(10) 方程满足的特解为。
(11) 。其中为。
(12) 。
(13)设是三阶矩阵,已知,与相似,则的相似对角形为。
(14) 设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取的两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为。
三、解答题15~23小题,共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15)(本题满分10分)设函数具有二阶连续偏导数,且满足等式。确定的值,使等式在变换下简化为。
(16) (本题满分10分)求幂级数的收敛域及其在收敛域内的和函数;
(17) (本题满分10分)设在连续,且,。证明:至少,使得。
(18) (本题满分10分)过椭圆上任一点作椭圆的切线,试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
(19) (本题满分10分)设,其中在处二阶可导,且。
(I)、为何值时在处连续?
(II)、为何值时在处可导?
(20) (本题满分11分)
(21)(本题满分11分)设为三阶方阵,为三维线性无关列向量组,且有,,。求
(I)求的全部特征值。(II)是否可以对角化?
(22)(本题满分11分)设为相互独立的随机事件,已知,且

发生不发生与发生不发生的概率相等,记随机变量
(I)求的联合分布律;
(II)在的条件下,求的条件分布律;
(Ⅲ)计算.
(23)(本题满分11分)设两随机变量在区域上均匀分布,其中,又设,,试求:
(I)与的概率密度与;
(II)与的协方差和相关系数
数三参考答案
选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。
A
解:设,则
所以,
(2)B
解:由于函数可导(除)且取得两个极值,故函数有两个驻点,即导函数图像与轴有且仅有两个交点,故A,C不正确。又由函数图像,极大值应小于极小值点,故D不正确。
(3)B
解:因级数是删除前1000项而得,故当收敛时,去掉有限项依然收敛,因此收敛,
若,则存在正整数,使得是,不变号。若,有正项级数的比值判别法知发散。同理可知,如果,则正项级数发散,因此发散。故②③正确,选B
(4)A
解:,因,则
,故。而
,故,所以
【也可以用泰勒公式计算】
(5)A
解:有非零解,充要条件是,由此即可找到答案。
(6)D
解:==
(7)C
解:由于,所以
故,
(8)B
因为服从正态分布,股根据题设知,
,从而有,显然只有(B)满足要求。
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。把答案填在题中的横线上。
(9)应填。
解:由,得
(10)应填
解:令,原方程变为
方程两边对求导得
再两边对求导得,即
由得,故
(11)应填
(12)应填
解:因
故原式
(13)应填【形式不唯一,只要是对角线上为-1,-2,-3就对】
解:由,知的特征值为,相似矩阵具有相同的特征值,所以的特征值也为,故相似的标准形为
(14)
解:设A:“所取的两件产品中至少有一件事不合格品”,B:“所取的两件都是不合格品”
因为,
所以
三、解答题15~23小题,共94分。解答应写文字说明