分式函数的图像与性质.doc

分式函数的图像与性质————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 高一数学选修课系列讲座(一)-----------------分式函数的图像与性质一、概念提出1、分式函数的概念形如的函数称为分式函数。如,,等。2、分式复合函数形如的函数称为分式复合函数。如,,等。二、学****探究探究任务一:函数的图像与性质问题1:的图像是怎样的?例1画出函数的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。小结:的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数的图像与性质:(1)定义域:;(2)值域:;(3)单调性:单调区间为;(4)渐近线及对称中心:渐近线为直线,对称中心为点;(5)奇偶性:当时为奇函数;(6)图象:如图所示问题2:的图像是怎样的?例2、根据与的函数图像,绘制函数的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。小结:分式函数的图像与性质:(1)定义域:;(2)值域:;(3)奇偶性:;(4)单调性:在区间上是增函数,在区间上为减函数;(5)渐近线:以轴和直线为渐近线;(6)图象:如右图所示例3、根据与的函数图像,绘制函数的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。结合刚才的两个例子,思考与的图像又是怎样的呢?思考与的图像是怎样的呢?的图像呢?小结:的图像如下:(i)(ii)(iii)(iv)的单调性、值域、奇偶性等,可以结合函数的图像研究。探究任务二:函数的图像与性质问题3:例4函数的图像是怎样的?单调区间如何?思考:函数的性质如何呢?单调区间是怎样的呢?小结:对于分式函数而言,分子次数高于分母时,可以采用问题3中的方法,将函数表达式写成部分分式,再结合函数的图像的平移,由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像,再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候,可以考虑分子分母同时除以分子(确保分子不为0),再着力研究分母的性质与图像,间接地研究整个函数的性质。如:巩固练****1、若则的最小值是;2、函数的值域是;3、已知内单调递减,则实数的取值范围是;4、不等式的在内有实数解,则实数的取值范围是;5、不等式的在内恒成立,则实数的取值范围是;6、已知在区间单调递减,求的取值范围是;7、函数的值域是8、定义在上函数,集合为实数,且对于任意,且存在常数,对于任意,均有成立,则称为函数在上的“定下界”.若,则函数在上的“定下界”、设.(1)当时,求的最小值;(2)当时,判断的单调性,并写出的最小值。10、已知函数的定义域为(为常数).(1)证明:当时,函数在定义域上是减函数;(2)求函数在定义域上的最大值及最小值,并求出函数取最值时的值。11、(1)若函数的定义域为,求实数的取值范围;(2)若函数的值域为,求实数的取值范围。12、已知函数有如下性质:如果常数,那么该函数在上是减函数,在上是增函数。(1)如果函数在上是减函数,在上是增函数,求实常数的值;(2)设常数,求函数的最大值和最小值。分式函数的图像与性质一、概念提出1、分式函数的概念形如的函数称为分式函数。如,,等。2、分式复合函数形如的函数称为分式复合函数。如,,等。二、学****探究探究任务一:函数的图像与性质问题1:的图像是怎样的?例1、画出函数的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】,即函数的图像可以经由函数的图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到。如下表所示:由此可以画出函数的图像,如下:单调减区间:;值域:;对称中心:。【反思】的图像绘制需要考虑哪些要素?该函数的单调性由哪些条件决定?【小结】的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数的图像与性质(1)定义域:;(2)值域:;(3)单调性:单调区间为;(4)渐近线及对称中心:渐近线为直线,对称中心为点;(5)奇偶性:当时为奇函数;(6)图象:如图所示问题2:的图像是怎样的?例2、根据与的函数图像,绘制函数的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间,奇偶性,周期性,凸凹性(此点不作要求),关键点坐标(最值点、与坐标轴交点)、辅助线(对称轴、渐近线)。绘图过程中需综合考虑以上要素,结合逼近与极限思想开展。解:函数的定义域为:;根据单调性定义,可以求出的单调区间增区间:减区间:函数的值域为:函数的奇偶性:奇函数函数图像的渐近线为:函数的图像如下:【反思】如何绘制陌生函数的图像?研究新函数性质应从哪些方面入手?【小结】分式函数的图像与性质:(1)定义域:;(2)值域:;(3)奇偶性:奇函数;(4)单调性:在区间上是增函数