分式函数的图像与性质.doc

高一数学选修课系列讲座(一)
-----------------分式函数的图像与性质
一、概念提出
1、分式函数的概念
形如的函数称为分式函数。如,,等。
2、分式复合函数
形如的函数称为分式复合函数。如,,等。
二、学****探究
探究任务一:函数的图像与性质
问题1:的图像是怎样的?
例1 画出函数的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。
小结:的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数的图像与性质:
(1)定义域: ; (2)值域: ;
(3)单调性:单调区间为;
(4)渐近线及对称中心:渐近线为直线,对称中心为点;
(5)奇偶性:当时为奇函数;
(6)图象:如图所示
问题2:的图像是怎样的?
例2、根据与的函数图像,绘制函数的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。
小结:分式函数的图像与性质:
(1)定义域: ; (2)值域: ;
(3)奇偶性: ;
(4)单调性:在区间上是增函数,
在区间上为减函数;
(5)渐近线:以轴和直线为渐近线;
(6)图象:如右图所示
例3、根据与的函数图像,绘制函数的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。
结合刚才的两个例子,思考与的图像又是怎样的呢?
思考与的图像是怎样的呢?的图像呢?
小结:的图像如下:
(i) (ii) (iii)
(iv)
的单调性、值域、奇偶性等,可以结合函数的图像研究。
探究任务二:函数的图像与性质
问题3:例4 函数的图像是怎样的?单调区间如何?
思考:函数的性质如何呢?单调区间是怎样的呢?
小结:对于分式函数而言,分子次数高于分母时,可以采用问题3中的方法,将函数表达式写成部分分式,再结合函数的图像的平移,由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像,再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候,可以考虑分子分母同时除以分子(确保分子不为0),再着力研究分母的性质与图像,间接地研究整个函数的性质。如:
巩固练****br/>1、若则的最小值是;
2、函数的值域是;
3、已知内单调递减,则实数的取值范围是;
4、不等式的在内有实数解,则实数的取值范围是;
5、不等式的在内恒成立,则实数的取值范围是;
6、已知在区间单调递减,求的取值范围是;
7、函数的值域是
8、定义在上函数,集合为实数,且对于任意,且存在常数,对于任意,均有成立,则称为函数在上的“定下界”.若,则函数在上的“定下界”__________.
9、设.
(1)当时,求的最小值; (2)当时,判断的单调性,并写出的最小值。
10、已知函数的定义域为(为常数).
(1)证明:当时,函数在定义域上是减函数;
(2)求函数在定义域上的最大值及最小值,并求出函数取最值时的值。
11、(1)若函数的定义域为,求实数的取值范围;
(2)若函数的值域为,求实数的取值范围。
12、已知函数有如下性质:如果常数,那么该函数在上是减函数,
在上是增函数。
(1)如果函数在上是减函数, 在上是增函数,求实常数的值;
(2)设常数,求函数的最大值和最小值。
分式函数的图像与性质
一、概念提出
1、分式函数的概念
形如的函数称为分式函数。如,,等。
2、分式复合函数
形如的函数称为分式复合函数。如,,等。
二、学****探究
探究任务一:函数的图像与性质
问题1:的图像是怎样的?
例1、画出函数的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】,即函数的图像可以经由函数的图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到。如下表所示:
由此可以画出函数的图像,如下:
单调减区间:;
值域:;
对称中心:。
【反思】的图像绘制需要考虑哪些要素?该函数的单调性由哪些条件决定?
【小结】的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数的图像与性质
(1)定义域: ;
(2)值域:;
(3)单调性:单调区间为;
(4)渐近线及对称中心:渐近线为直线,对称中心为点;
(5)奇偶性:当时为奇函数;
(6)图象:如图所示
问题2:的图像是怎样的?
例2、根据与的函数图像,绘制函数的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间,奇偶性,周期性,凸凹性(此点不作要求),关键点坐标(最值点、与坐标轴交点)、辅助线(对称轴、渐近线)。绘图过程中需综合考虑以上要素,结合逼近与极限思想开展。
解:函数的定义域为:;
根据单调性定义,可以求出的单调区间
增区间:
减区间:
函数的值域为: