分式函数的图像与性质.docx

分式函数的图像与性质学****过程1、分式函数的概念形如yax2bxc的函数称为分式函数。如y2x1,yx21,dx2exf(a,b,c,d,e,fR)x2xx24x1等。x32、分式复合函数形如ya[f(x)]2bf(x)c(a,b,c,d,e,fR)的函数称为分式复合函数。如y22x1,d[f(x)]2ef(x)f12xysinx2,yx12等。3sinx3x3※学****探究探究任务一:函数yaxb(ab0)的图像与性质x问题1:yaxb(a,b,c,dR)的图像是怎样的?cxd2x1的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、例1、画出函数y值域、对称中心。x1【分析】y2x12(x1)112,即函数y2x1的图像可以经由函数y1x1x1x1x1x的图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到。如下表所示:y1右1y1上2y1xx12x1由此可以画出函数y2x1的图像,如下:yx1yyO2Ox1xO1x单调减区间:(,1),(1,);值域:(,2)(2,);对称中心:(1,2)。【反思】axb(,,,)的图像绘制需要考虑哪些要素?该函数的单调性由哪些ydabcdRcx条件决定?【小结】axb(,,,d)的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,ydabcRcx需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数axb(,,,d)的图像与性质ydabcRcxd};(1)定义域:{x|xc(2)值域:{y|ya};cd),(d,+);(3)单调性:单调区间为(,ccd,ya,对称中心为点(d,a);(4)渐近线及对称中心:渐近线为直线x(5)奇偶性:cc(6)图象:如图所示yyO x O x问题2:yaxb(ab0)的图像是怎样的?x例2、根据yx与1的函数图像,绘制函数yx1y的图像,并结合函数图像指出函xx数具有的性质。【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间,奇偶性,周期性,凸凹性(此点不作要求),关键点坐标(最值点、与坐标轴交点)、辅助线(对称轴、渐近线)。绘图过程中需综合考虑以上要素,结合逼近与极限思想开展。解:函数的定义域为: {x|x 0};1根据单调性定义,可以求出 y x 的单调区间x增区间:(,1][1,)减区间:[1,0),(0,1]函数的值域为:(,2][2,)函数的奇偶性:奇函数函数图像的渐近线为:yx,x0函数的图像如下:yy yy xy xO x O x1x【反思】如何绘制陌生函 数的图像?研究新函数性质应从哪些方面入手?【小结】分式函数yaxb(,0)的图像与性质:abx(1)定义域:{x|x0};(2)值域:{y|y2ab,或y2ab};(3)奇偶性:奇函数;(4)单调性:在区间(,b][b,+)上是增函数,aa在区间(0,b],[b,0)上为减函数;a5)渐近线:以y轴和直线yax为渐近线;6)图象:如右图所示yyax2abbbOax2aba例3、根据yx与y11的函数图像,绘制函数yx的图像,并结合函数图像指出函xx数具有的性质。【分析】结合刚才的绘图经验,不难绘制出yx1的图像{x|x0};x解:函数的定义域为:根据单调性定义,可以判断出1的单调性,单调增区间为:(,0),(0,)yxx函数的值域为: R函数的奇偶性:奇函数函数图像的渐近线为: y x,x 0函数的图像如下:y yy xO x O x1yx【反思】结合刚才的两个例子,yx11与yx的图像又是怎样的呢?思考xxy2x+1与y3x2的图像是怎样的呢?yaxb(a,bR,ab0)的图像呢?x1xx函数y的图像如下,绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。xxyyyxxO1yxy xO x【注】yx1(x1),由于yf(x)与yf(x)的图像关于x轴对称,所以还xx可以根据yx1的图像,对称的画出1的图像。同样的道理y1xyxx的图像xx与yx1的图像关于x轴对称,所以图像如下:xyy1y1xyxxxO xOx【小结】yb(,b,0)的图像如下:axaRabx(i)yaxb(a0,b0)xyy axO x(ii) y ax b(a0,b0)xyy axO x(iii) y ax b(a0,b0)xyy axOx(iv) y ax b(a0,b0)[来源:学+科+网Z+X+X+K]xyy axxOy ax b(a,bR,ab0)的单调性、值域、奇偶性等,可以结合函数的图像研究。x探究任务二:函数yax2bxc(a,b,c,d,e,fR)的图像与性质dx2exf问题3:函数y2x2x1的图像是怎样的?单调区间如何?x1【分析】2x2x12(xyx1y2x2左1y2(x1)x所以y2x2x1的图像与yx1(1,3)图像的对称中心为:单调增区间为:(,2][0,单调减区间为: [ 2,1),(1,0]值域:( ,7] [1,