基本图形-一线三等角.docx

基本图形:一线三等角,相似两边找
“一线三等角”这个基本图形性质虽然不同,就是可以得到一组相似三角形而已,但因为这组相似三角形的对应关系较难看出,因此根据这个基本图形先判断存在着一组相似三角形,就有其价值了。
例1:在等腰△ABC中,AB=AC,D是BC上的一点,作∠ADE=∠B,问:△ABD与△DCE相似吗?如果相似,请写出这组相似三角形顶点和边的对应关系。
讲评:从这个例子,我们可以提炼出如下基本图形:“三个相等的顶点在一直线上,就有两个三角形相似”这个结论。这就成为一个基本图形,简称“一线三等角”。
如图,当∠A=∠B=∠EDC时,就有△ADE∽△CDB;
其证明只要用到外角知识。“一线三等角”不能作为定理直接引用,因此在书写证明时,还得用外角知识重新证明。
数学上特别注意的是,这对相似三角形的对应关系不太“顺眼”,要把其中一个三角形转过一个角度后,才比较容易看出顶点的对应关系和对应边。比较好的记忆方法“逆时针比例法”:从图中的点E出发,沿逆时针沿外周绕,得比例EA:AD=DB:BC.
例2:在等边△ABC中,将角A翻折,使点A落在BC边的D点上,EF为折痕,求证:△BED∽△。
,AD=4,CD=5,点F在AD上,将角D沿CF翻折,使点D落在AB边的点E处,求的值。
例4:如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=2,BC=8,∠MEN=∠B. ∠MEN的顶点E在边BC上移动,一条边始终经过点A,另一边与CD交于点F,连接AF。设BE=,DF=,试建立关于的函数关系式,并写出函数定义域。
例5:如图,在RtABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,O是AB上一点,AO=4,P是AC上动点,过点P做OP的垂线交边BC于点Q,设AP=,CQ=,试求关于的函数解析式,并写出定义域。
例6:如图, 若∠B=∠EDC=∠A,且点D是BC的中点,请问:图中是否产生新的相似三角形?请证明:并写出哪些角相等,哪些线段比相等。
讲评:本题反映的是一个基本图形“一线三等角+中点”。上图中,若∠B=∠EDC=∠A,且D是BC中点,那么有三个三角形相似:△EAD∽△DEC∽△,其同样地,其对应关系值得重视。不过,这个对应关系比较“顺”,只要假想把AB的中点D沿AB“滑”向A点(或B点),夹∠A(或∠B)两边与夹∠EDC的两边对应关系呈现左对左、右对右的格局。
例7:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=BC=6,AD=,以M为顶点作∠EMF=∠B,射线
MF交腰CD于点F,连接EF.
(1)求证:△MEF∽△BEM;
(2)若△BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长;
(3)若EF⊥CD,求BE的长。
“一线三等角”:三个相等的角的顶点在一条直线上,就有两个三个三角形相似。
“一线三等角+中点”。三个相等的角的顶点A、D、B在一条直线上,位于中间的那个顶点D,如果线段AB的中点,那么就有三个三角形相似。
,等腰梯形的底边,矩形的一边等场合。