7非参数检验I：χ2检验.ppt

参数检验,也就是说检验目标是判断总体参数是否等于某一指定值,或两个总体的某一参数是否相等。
非参数检验,检验的目标一般与参数无关,而是总体分布的某种性质是否存在,例如是否服从某种指定的分布,两个事件是否独立等等。
χ2检验在非参数检验中应用相当广泛。
非参数检验I:χ2检验
在一个总体中进行随机抽样,n为样本含量,具有r种不同属性出现(或可分为r组),Oi为样本中第i种属性出现的次数的观察值,T为i样本中第i种属性出现次数的理论值,则Pearson统计量定义为:
 
如果样本来自理论总体,那么Oi和Ti之间的差异就只是随机误差,则有随n的增加渐近于自由度为r-1的χ2分布。
χ2分布
X2
F(x2)
Df=1
Df=6
Df=10
χ2分布是抽样分布,根据自由度变化而变化,每一个不同自由度对应一个χ2分布曲线,χ2分布具有一组曲线。
Χ2一尾表
χ2分布具有一组曲线
0
12
6
如果样本确实抽自由(P1,P2,…Pr)代表的总体,Oi和Ti之间的差异就只是随机误差,则Pearson统计量可视为服从χ2分布;反之若样本不是抽自由(P1,P2,…Pr)代表的总体,Oi和Ti之间的差异就不只是随机误差,从而使计算出的统计量有偏大的趋势。
因此对上述Pearson统计量进行上单尾检验可用于判断离散型数据的观察值与理论值是否吻合。
此时统计假设为:H0:Oi = T i;HA:Oi ≠ T I,但检验是上单尾检验。
检验是上单尾检验
若自由度为1,则应作连续性矫正,即把统计量改为:
连续性矫
(1)建立假设: H0:Oi = T i;HA:Oi ≠ T I,但检验是上单尾检验。
(2)确定显著水平
(3) 由H0:Oi = T I出发,计算样本资料的χ2值
(4)根据df 和显著水平,查χ2临界值。
(5)结果判断χ2大于χ2临界值,否定H0; χ2小于χ2临界值,接受H0;
假设测验步骤
一、吻合度检验。用于检验总体是否服从某个指定分布。
方法为:设给定分布函数为F(x)。首先把x的值域分为r个不相重
合的区间,并统计样本含量为n的一次抽样中,观察值落入各区
间的次数,把落入区间i的次数记为Oi,i=1, 2,… r;再算出在
指定的分布下,x落入每一区间的概率pi ,i=1, 2,… r。由于
样本含量为n,因此理论上落入每一区间的次数应为Ti = n·pi;从
而可用Pearson统计量进行检验。
Pearson统计量的应用主要有以下两个方面:
一般来说,如果给定的分布函数F(x)中不含有未知参数,则Pearson统计量的自由度就是r – 1;
但如果F(x)中含有一个或几个未知参数,需要用从样本中计算出的估计量代替,则使用了几个估计量自由度一般就应在r – 1的基础上再减去几。
如,观测值共分了9组,自由度本应为9 – 1 = 8,但由于理论分布的μ和σ2未知,使用估计量代替,因此自由度应为8 – 2 = 6。
Pearson统计量的自由度可能发生变化
调查了某地200名男孩身高,
分组数据见下表。男孩身高是否符合正态分布?
男孩身高是否符合正态分布1
组号
区间
Oi
Pi
Ti
(Oi - Ti)2/Ti
1
(-∞, 126)
8



2
[126, 130)
13



3
[130, 134)
17



4
[134, 138)
37



5
[138, 142)
55



6
[142, 146)
33



7
[146, 150)
18



8
[150, 154)
10



9
[154, +∞)
9



表中前三列是观察数据,后三列是计算所得。计算公式为:设区间为[xi-1, xi),则
,
其中Ф为N(0,1)的分布函数,可查表得到。
T i = 200·Pi
男孩身高是否符合正态分布2