f分布t分布和卡方分布.doc

§1、4常用得分布及其分位数1、卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都就是由正态分布所导出得分布,它们与正态分布一起,就是试验统计中常用得分布。当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时,Z=得分布称为自由度等于n得分布,记作Z~(n),它得分布密度p(z)=式中得=,称为Gamma函数,且=1,=。分布就是非对称分布,具有可加性,即当Y与Z相互独立,且Y~(n),Z~(m),则Y+Z~(n+m)。证明:先令X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服从N(0,1),再根据分布得定义以及上述随机变量得相互独立性,令Y=X+X+…+X,Z=X+X+…+X,Y+Z=X+X+…+X+X+X+…+X,即可得到Y+Z~(n+m)。2、t分布若X与Y相互独立,且X~N(0,1),Y~(n),则Z=得分布称为自由度等于n得t分布,记作Z~t(n),它得分布密度P(z)=。请注意:t分布得分布密度也就是偶函数,且当n>30时,t分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。这时,t分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。3、F分布若X与Y相互独立,且X~(n),Y~(m),则Z=得分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m得F分布,记作Z~F(n,m),它得分布密度p(z)=请注意:F分布也就是非对称分布,它得分布密度与自由度得次序有关,当Z~F(n,m)时,~F(m,n)。4、t分布与F分布得关系若X~t(n),则Y=X~F(1,n)。证:X~t(n),X得分布密度p(x)=。Y=X得分布函数F(y)=P{Y<y}=P{X<y}。当y0时,F(y)=0,p(y)=0;当y>0时,F(y)=P{-<X<}==2,Y=X得分布密度p(y)=,与第一自由度等于1、第二自由度等于n得F分布得分布密度相同,因此Y=X~F(1,n)。为应用方便起见,以上三个分布得分布函数值都可以从各自得函数值表中查出。但就是,解应用问题时,通常就是查分位数表。有关分位数得概念如下:4、常用分布得分位数1)分位数得定义分位数或临界值与随机变量得分布函数有关,根据应用得需要,有三种不同得称呼,即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数,它们得定义如下:当随机变量X得分布函数为F(x),实数α满足0<α<1时,α分位数就是使P{X<xα}=F(xα)=α得数xα,上侧α分位数就是使P{X>λ}=1-F(λ)=α得数λ,双侧α分位数就是使P{X<λ1}=F(λ1)=0、5α得数λ1、使P{X>λ2}=1-F(λ2)=0、5α得数λ2。因为1-F(λ)=α,F(λ)=1-α,所以上侧α分位数λ就就是1-α分位数x1-α;F(λ1)=0、5α,1-F(λ2)=0、5α,所以双侧α分位数λ1就就是0、5α分位数x0、5α,双侧α分位数λ2就就是1-0、5α分位数x1-0、5α。2)标准正态分布得α分位数记作uα,0、5α分位数记作u0、5α,1-0、5α分位数记作u1-0、5α。当X~N(0,1)时,P{X<uα}=F0,1(uα)=α,P{X<u0、5α}=F0,1(u0、5α)=0、5α,P{X<u1-0、5α}=F0,1(u1-0、5α)=1-0、5α。根据标准正态分布密度曲线得对称性,当α=0、5时,uα=0;当α<0、5时,uα<0。uα=-