f分布t分布和卡方分布.docx

§、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布,它们与正态分布一起,是试验统计中常用的分布。当X1、X2、⋯、Xn相互独立且都服从N(0,1)时,Z=iX2i的分布称为自由度等于n的2分布,记作Z~2(n),它的分布密度p(z)=2n2nz1122xen2,z00,,其他式中的n2n1u2,称为Gamma函数,且1=1,=uedu01=π。22分布是非对称分布,具有可加性,即当Y与Z相互独立,且Y~2(n),Z~2(m),则Y+Z~2(n+m)。证明:先令X1、X2、⋯、Xn、Xn+1、Xn+2、⋯、Xn+m相互独立且都服从N(0,1),再根据2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性,令Y=X12+X2+⋯+X2n,Z=X2n1+X2n2+⋯+X2nm,Y+Z=X21+X2+⋯+X2n+X2n1+X2n2+⋯+X2nm,即可得到Y+Z~2(n+m)。,且X~N(0,1),Y~2(n),则Z=YX的分布称为自由度n等于n的t分布,记作Z~t(n),它的分布密度(nn1)2n()212znn12P(z)=。请注意:t分布的分布密度也是偶函数,且当n>30时,t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时,t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。,且X~2(n),Y~2(m),则Z=XnYm的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布,记作Z~F(n,m),它的分布密度n2mm2nm2zn21n,z0p(z)=nmnm(mnz)2220,其他。请注意:F分布也是非对称分布,它的分布密度与自由度的次序有关,当Z~F(n,m)时,~F(m,n)。2若X~t(n),则Y=X~F(1,n)。nnπ21n212xnn12证:X~t(n),X的分布密度p(x)=。Y=X2的分布函数FY(y)=P{Y<y}=P{X2<y}。当y0时,FY(y)=0,pY(y)=0;当y>0时,FY(y)=P{-y<X<y}yy()=yp(x)dx=2pxdx0,2的分布密度pY(y)=nn21n2y1n1211Y=X,n(ny)222与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密2度相同,因此Y=X~F(1,n)。为应用方便起见,以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是,解应用问题时,通常是查分位数表。有关分位数的概念如下:)分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关,根据应用的需要,有三种不同的称呼,即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数,它们的定义如下:当随机变量X的分布函数为F(x),实数α满足0<α<1时,α分位数是使P{X<xα}=F(xα)=α的数xα,上侧α分位数是使P{X>λ}=1-F(λ)=α的数λ,双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=、使P{X>λ2}=1-F(λ2)=。因为1-F(λ)=α,F(λ)=1-α,所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x1-α;F(λ1)=,1-F(λ2)=,,双侧α分位数λ2就是1--。2)标准正态分布的α分位数记作uα,,1--。当X~N(0,1)时,P{X<uα}=F0,1(uα)=α,P{X<}=F0,1()=,P{X<u1-}=F0,1(u1-)=1-。根据标准正态分布密度曲线的对称性,当α=,uα=0;当α<,uα<0。uα=-u1-α。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数,则先查出u1-α,然后得到uα=-u1-α。论述如下:当X~N(0,1)时,P{X<uα}=F0,1(uα)=α,P{X<u1-α}=F0,1(u1-α)=1-α,P{X>u1-α}=1-F0,1(u1-α)=α,故根据标准正态分布密度曲线的对称性,uα=-u1-α。例如,=-=-,=-=-,=-=-,=-=-,=-=-。又因为P{|X|<u1-}=1-α,所以标准正态分布的双侧α分位数分别是u1--u1-。标准正态分布常用的上侧α分位数有:α=,=;α=,=;α=,=;α=,u0