f分布t分布和卡方分布.doc

§ 常用的漫衍及其分位数
1. 卡平方漫衍
卡平方漫衍、t漫衍及F漫衍都是由正态漫衍所导出的漫衍，它们与正态漫衍一起，是试验统计中常用的漫衍。
当X1、X2、…、Xn相互独立且都听从N(0,1)时，Z= 的漫衍称为自由度便是n的漫衍，记作Z～(n)，它的漫衍密度 p(z)=
式中的=，称为Gamma函数，且=1， =。漫衍是非对称漫衍，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y～(n)，Z～(m)，则Y+Z～(n+m)。
证明: 先令X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都听从N(0,1)，再凭据漫衍的界说以及上述随机变量的相互独立性，令
Y=X+X+…+X，Z=X+X+…+X，
Y+Z= X+X+…+X+ X+X+…+X，
即可得到Y+Z～(n+m)。
2. t漫衍 若X与Y相互独立，且
X～N(0,1)，Y～(n)，则Z = 的漫衍称为自由度便是n的t漫衍，记作Z ～ t (n)，它的漫衍密度
P(z)= 。
请注意：t漫衍的漫衍密度也是偶函数，且当n>30时，t漫衍与标准正态漫衍N(0,1)的密度曲线险些重叠为一。这时， t漫衍的漫衍函数值查N(0,1)的漫衍函数值表便可以得到。
3. F漫衍 若X与Y相互独立，且X～(n)，Y～(m)，
则Z=的漫衍称为第一自由度便是n、第二自由度便是m的F漫衍，记作Z～F (n, m)，它的漫衍密度
p(z)=
请注意：F漫衍也是非对称漫衍，它的漫衍密度与自由度的序次有关，当Z～F (n, m)时，～F (m ,n)。
4. t漫衍与F漫衍的干系
若X～t(n)，则Y=X～F(1,n)。
证：X～t(n)，X的漫衍密度p(x)= 。
Y=X的漫衍函数F(y) =P{Y<y}=P{X<y}。
当y0时，F(y)=0，p(y)=0；
当y>0时，F(y) =P{-<X<}
==2，
Y=X的漫衍密度p(y)=，
与第一自由度便是1、第二自由度便是n的F漫衍的漫衍密度相同，因此Y=X～F(1,n)。
为应用方便起见，以上三个漫衍的漫衍函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的看法如下：
4. 常用漫衍的分位数
1）分位数的界说
分位数或临界值与随机变量的漫衍函数有关，凭据应用的需要，有三种差别的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的界说如下：
当随机变量X的漫衍函数为 F(x)，实数α满足0 <α<1
时，α分位数是使P{X< xα}=F(xα)=α的数xα，
上侧α分位数是使P{X >λ}=1-F(λ)=α的数λ，
双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=、使
P{X>λ2}=1-F(λ2)=。
因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x 1-α；
F(λ1)=，1-F(λ2)=， ，双侧