f分布t分布与卡方分布.docx

§、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布,它们与正态分布一起,是试验统计中常用的分布。2当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时,Z=vXi的i2(n),它的分分布称为自由度等于布密度 p(z)=n的1An X22-n20,n-1.+处 2 -u,0u2edu,2分布,记作Zz_2e其他,称为Gamma函数,且】1=1,式中的『-=I2分布是非对称分布,具有可加性,即当 丫与Z_I-=n。2相互独立,且丫2(n),Z2(m),贝yY+Z〜2(n+m)。证明:先令X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服从N(0,1),再根据2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性,令丫=X2+X2+…+x-,z=x备+x2+2+…+Xn+m,Y+Z=X+x即可得到丫+Z〜2(n+m)。t分布若X与丫相互独立,且X〜N(0,1),丫〜2(n),则Z=,记作Z〜t(n),它的分布密度;~Y。”心LP(z)=―;= 时(殳)I请注意:t分布的分布密度也是偶函数,且当 n>30时,t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时,t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。F分布若X与丫相互独立,且X〜(n),丫〜2(m),则Z=X丫的分布称为第一自由度等于 n、第二自由度等于nmm的F分布,记作Z〜F(n,m),它的分布密度P(Z)=nmnm in——1z2 -,z0nm(mnz)2220, 其他。请注意:F分布也是非对称分布,它的分布密度与自由度1的次序有关,当Z〜F(n,m)时,刁〜F(m,n)。〜t(n),贝yY=X2〜F(1,n)。证:X〜t(n),X的分布密度p(x)=———佑严卫y=x2的分布函数FY(y)=P{Y<y}=P{X2<y}。当厂0时,FY(y)=o,PY(y)=o;当y>0时,FY(y)=P{-yvxvy}=_yyp(x)dx=2oyp(x)dx,VnY=X12的分布密度PY(y)=y2与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密o度相同,因此Y=X〜F(1,n)为应用方便起见,以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是,解应用问题时,通常是查分位数表。有关分位数的概念如下:常用分布的分位数分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关, 根据应用的需要,有三种不同的称呼,即a分位数、上侧a分位数与双侧a分位数,它们的定义如下:当随机变量X的分布函数为F(x),实数a满足0<a<1时,a分位数是使P{X<xa}=F(xa)=a的数Xa,上侧a分位数是使P{X>入}=1-F(入)=a的数入,双侧a分位数是使P{X<入1}=F(入1)=、使P{X>入2}=1-F(入2)=。因为1-F(入)=a,F(入)=1-a,所以上侧a分位数入就是1-a分位数X1-a;F(入1)=,1-F(入2)=,,双侧a分位数入2就是1--。2)标准正态分布的a 分位数记作Ua,,1--。P(x) p(x)X o X当X〜N(0,1)时,P{X<Ua}=F0,1(ua)=a,P{X<}=F0,1()=,P{X<U1-}=F0,1(U1-)=1-。根据标准正态分布密度曲线的对称性,当a=,ua=0;当a<,ua<0。ua=-u1-a。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数,则先查出U1-a,然后得到Ua=-U1-a。论述如下:当X〜N(0,1)时,P{XVUa}=F0,1(ua)=a,P{X<u1-a}=F0,1(u1-a)=1-a,P{X>u1-a}=1-F0,1(u1-a)=a,故根据标准正态分布密度曲线的对称性, ua=-u1-a。例如,=-=-,=-=-,=-=-,=-=-,=-=-。又因为P{|X|<u1-}=1-a,所以标准正态分布的双侧a分位数分别是u1--u1-。标准正态分布常用的上侧a 分位数有:a=,=;a=,=;a=,=;a=,=;a=,=2