概率论复旦三版习题四答案.doc

概率论与数理统计(复旦第三版)-1012P1/81/21/81/4求E(X),E(X2),E(2X+3).【解】(1)(2)(3),求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X,-101Pp1p2p3且已知E(X)=,E(X2)=,求.【解】因……①,又……②,……③由①②③,其中的白球数X为一随机变量,已知E(X)=n,问从袋中任取1球为白球的概率是多少?【解】记A={从袋中任取1球为白球},(x)=求E(X),D(X).【解】,Y,Z相互独立,且E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8,求下列随机变量的数学期望.(1)U=2X+3Y+1;(2)V=YZ-4X.【解】(1)(2),Y相互独立,且E(X)=E(Y)=3,D(X)=12,D(Y)=16,求E(3X-2Y),D(2X-3Y).【解】(1)(2)(X,Y)的概率密度为f(x,y)=试确定常数k,并求E(XY).【解】因故k=2.,Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为求.【解】方法一:先求与的均值由与的独立性,得方法二:,,Y的概率密度分别为==求(1);(2).【解】从而(1)(2)(x)=求(1)系数;(2);(3).【解】(1)由得.(2)(3)故,其中9个合格品,,从袋中一个一个地取出(取出后不放回),设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量,求和.【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数,则的可能取值为0,1,2,,下面求取这些可能值的概率,易知于是,得到X的概率分布表如下:(以年计)服从指数分布,概率密度为为确保消费者的利益,,工厂获利100元,而调换一台则损失200元,试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利只有两个值:100元和-200元故(元).,且有,记,.(1)验证=μ,=;(2)验证;(3)验证.【证】(1)(2)因为故.(3)因为,故同理因为,,已知,,,计算:.【解】(因常数与任一随机变量独立,故,其余类似).,但X和Y不是相互独立的.【解】(Y)=0.(注意到积分区域的对称性和被积函数是奇函数可以直接得到0)而,由此得,,当时,当时,.显然,-101-1011/81/81/81/801/81/81/81/8验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素,X与Y显然不独立,由联合分布律易求得X,Y及XY的分布律,其分布律如下表:X-101PY-101PXY-101P由期望定义易得====,再由相关系数性质知=0,即X与Y的相关系数为0,(X,Y)在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,求,.【解】如图,SD=,故(X,Y)(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求协方差和相关系数.【解】(X,Y)的协方差矩阵为,试求Z1=X-2Y和Z2=2X-Y的相关系数.【解】由已知条件得:D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=,W,若E(V2),E(W2)存在,证明:[E(VW)]2≤E(V2)E(W2).这一不等式称为柯西—许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式.【证】考虑实变量的二次函数因为对于一切,有,所以,从而二次方程或者没有实根,或者只有重根,故其判别式Δ≤0,=1/,出现故障时自动关机,.【解】由题设可知:设备开机后无故障工作的时间,其概率密度为根据题意,所以的分布函数为当时,;