考研数学辅导二.ppt

f ′( x0 ) = lim
§ 导数与微分
A. 导数的定义及性质
f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆x
1. f ′( x ) = lim
∆x →0
.
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
x→ x0
f ′( x0 )存在⇔ f +′( x0 ) = f −′( x0 )
⇒函数连续(反之不成立)
函数可导⇔函数可微
A. cosh)1(lim 2 −f 存在 B. )1(lim0 hef −存在
C. sinh)(lim 2 −hf 存 D. )]()2([lim0 hfhf −存在
0→ hh
h
B. 范例解析
1. 用定义求导.(抽象函数在某点导数和导函
数)
【例 79】(010103)设 f (0) = 0,则 f ( x )在点 x = 0可
导的充分必要条件为
1 1
h→0 h h→ h
1 1
h→
h
【例 80】(060304)设 f ( x )在x = 0处连续,且
f (h2 )
2
lim
h→0
= 1则
(A) f (0) = 0且f−′(0)存在.
(B) f (0) = 1且f−′(0)存在.
(C) f (0) = 0且f+′(0)存在.
(D) f (0) = 1且f+′(0)存在.
【例 81】对实数a, b满足
f (a + b) = e a f (b) + e b f (a ), f ′(0) = e
求: f ′( x ); f ( x )
【例 82】 f ( x )在(−∞,+∞)内可导, ∀x1 , x2 有
f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) f ( x2 ), f ′(0) = 1,
证明: f ′( x ) = f ( x )
【例 83】(040204)设函数 f ( x ) 连续,且 f ′(0) > 0 ,
则存在δ> 0 ,使得
A. f ( x ) 在( 0, δ) 内单调增加.
B. f ( x)在( −δ,0 ) 内单调减少
x ∈( 0, δ) 有 f ( x ) > f ( 0 )
x ∈( −δ,0 ) 有 f ( x ) > f ( 0 )
⎧⎪
2
数有界, f ′′(a ).
【例 85】已知 f ( x ) = x( x − 1)L( x − n)
求: f ′(0), f ( n+1) ( x ), f ( n+ 2 ) ( x )
2. 分段函数在分段点的导数用定义求.
, g(0) = g′(0) = 0
x ≠ 0
x = 0
1
x
g( x ) cos
0
【例 86】 f ( x ) = ⎨
⎪⎩
求: f ′(0)
⎧⎪ sin x
87】 f ( x ) = ⎨1 − e
⎧ x λ cos
【例
⎪⎩ 0
x ≠ 0
x = 0
1
x
讨论 f ′(0)的存
在性.
【例 88】(030304)
x ≠ 0
x = 0
1
x
设 f ( x ) = ⎨
⎪⎩ 0
导
函数在 x = 0连续,则λ的取值范围是
.
t
x
f ( x) = lim x(1 + 3t )
t →0
【例】(20110304)设
则 f ′( x) =
(注: },1max{||1lim)( xxxf =+= )
22 n
n→∞
【例 89】(050104)设 f ( x ) = lim n 1+ | x |3 n ,则
f ( x )在(−∞,+∞)内
A. 处处可导;
B. 恰有一个不可导点;
C. 恰有两个不可导点;
D. 至少有三个不可导点.
n
n→∞
⎨
dy ψ′(t )
ϕ′(t )
⎛ψ′(t ) ⎞
⎟⋅
= ⎜
⎝ϕ′(t ) ⎠ϕ′(t )
dx
,隐含数,反函数,参数方程的导数,
函数的高阶导数.
a. y = f (u), u = φ( x )则
du
dx
dy
dx
= f ′[φ( x )]⋅φ′( x )
= f ′(u) ⋅
x = φ( y ),反函数 y = f ( x )则
dy
dx
1
φ′( y )
=
⎧ x = ϕ(t )
⎩ y = ψ(t )
则
= ,
dx
d y 1
2
2 ′
(−1) n!a
(ax + b )
( x + 1)
π
d. 隐含数的导数 1将 y 视为 x 的函数
dy
dx
Fx′
Fy′
= −
2F ( x , y ) = 0,
e. y = x