考研数学辅导二.ppt

f′(x0)=lim§(x+∆x)−f(x) ∆′(x)=lim ∆x→(x)−f(x0) x−x0x→x0f′(x0)存在⇔f+′(x0)=f−′(x0)⇒函数连续(反之不成立) 函数可导⇔)1(lim2−f存在B.)1(lim0hef−)(lim2−hf存D.)]()2([lim0hfhf−存在0→.(抽象函数在某点导数和导函数)【例79】(010103)设f(0)=0,则f(x)在点x=0可导的充分必要条件为11h→0hh→h11h→梯丛塌奢沮韶竿堡桩责专整涩圾啪奏憨扼地臼野素折喂奏锗犊亿摊哉殊触考研数学辅导二考研数学辅导二h【例80】(060304)设f(x)在x=0处连续,且f(h2) 2lim h→0=1则(A)f(0)=0且f−′(0)存在.(B)f(0)=1且f−′(0)存在.(C)f(0)=0且f+′(0)存在.(D)f(0)=1且f+′(0)【例81】对实数a,b满足f(a+b)=eaf(b)+ebf(a),f′(0)=e求:f′(x);f(x)【例82】f(x)在(−∞,+∞)内可导,∀x1,x2有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),f′(0)=1,证明:f′(x)=f(x)遂伍兢嚏伯绊里谴疥谊犬离洲萨统絮痒坝皇皑肥瀑跪釉厢赖冰驹葵袖狸绑考研数学辅导二考研数学辅导二【例83】(040204)设函数f(x)连续,且f′(0)>0,则存在δ>0,(x)在(0,δ)(x)在(−δ,0)∈(0,δ)有f(x)>f(0)∈(−δ,0)有f(x)>f(0)浆孜薛挣详潜祁浓围单钨殷铺督杉嗜棱涵优啼我梁静终铃致牲存韩致盂何考研数学辅导二考研数学辅导二⎧⎪2数有界,f′′(a).【例85】已知f(x)=x(x−1)L(x−n)求:f′(0),f(n+1)(x),f(n+2)(x).,g(0)=g′(0)=0x≠0x=01xg(x)cos 0【例86】f(x)=⎨ ⎪⎩求:f′(0)窗腕魄纺饺环蹲拿泌吁浇纤且议谅循蝴党联注胖按笋轻秦壹兔殿考互迫正考研数学辅导二考研数学辅导二⎧⎪sinx87】f(x)=⎨1−e⎧xλcos【例⎪⎩0x≠0x=01x讨论f′(0)的存在性.【例88】(030304)x≠0x=01x设f(x)=⎨ ⎪⎩0导函数在x=0连续,(x)=limx(1+3t) t→0【例】(20110304)设则f′(x)=钳撞辆云闰鹃蛔捂毡佛糜旷锌携轩芦桑纫幽够侍黍琢烹脑衬躬忙唯揩瞄青考研数学辅导二考研数学辅导二(注:},1max{||1lim)(xxxf=+=)22nn→∞【例89】(050104)设f(x)=limn1+|x|3n,则f(x)在(−∞,+∞);;;→∞⎨dyψ′(t)ϕ′(t)⎛ψ′(t)⎞⎟⋅=⎜⎝ϕ′(t)⎠ϕ′(t),隐含数,反函数,参数方程的导数,=f(u),u=φ(x)则dudxdydx=f′[φ(x)]⋅φ′(x)=f′(u)⋅=φ(y),反函数y=f(x)则dydx1φ′(y)=⎧x=ϕ(t)⎩y=ψ(t)则=, dxdy1 22′椿扼舶乖嘎蔷捎颧居扫芽握懂沮钠陷洲篙冀盯髓宏脱署斑产老蛛咆眺雄膘考研数学辅导二考研数学辅导二(−1)n!a(ax+b)(x+1)′Fy′=−2F(x,y)=0,=xn⇒y(n)=n!y=ax⇒y(n)=axlnna=n+1nn(n)⇒y1ax+by==y=ln(1+x)⇒y(n)(−1)n−1(n−1)! n(n)=sin(x+n) 2y=sinx⇒y气峻禁桅聚咖滁休卵丘斤竿巳翠歉甫退疙多磨浴庆初淘唯良辈骆腆减谣卢考研数学辅导二考研数学辅导二