高数试卷下2009高数下a及答案.doc

2009高等数学(下)试题及答案一、填空题(每小题3分,共计27分)1曲面在处的切平面方程是_______。2曲线:绕轴旋转所形成的旋转曲面的方程为。3函数由方程所确定,则=4累次积分交换积分次序后,5设L是上从,到的一段弧,:与平面:的关系是。(A)、平行(B)、垂直相交(C)、L在上(D)、相交但不垂直9下列级数中,发散的是()A、;B、;C、;D、;二(6分)设,,其中有二阶连续导数,有二阶连续偏导数,求三(6分)(6分)计算,(7分)计算,(7分)判断级数是绝对收敛,条件收敛还是发散。七(7分)求解方程。八(7分)将长为的细铁丝剪成三段,分别用来围成圆、正方形和正三角形,问怎样剪法,才能使它们所围成的面积之和最小?并求出最小值。九(7分)设D是单连通区域,函数在区域D上一阶偏导是连续的,证明:、填空题(每小题3分,共计27分)1;2;3;4;5;6;7;8A;(6分)解三(6分)解,四(6分)解D的极坐标表示是:,.故五(7分)解设取下侧,则由高斯公式得:(7分)解级数是条件收敛的。由于,令,则是单调减少且区域0的数列,因此交错级数收敛,另一方面当时,,而,又发散,(7分)解方程变形得:,这是齐次方程。令得:,代入方程得:由原方程知,因此,对上式积分,得:即故方程的通解为:八(7分)解设剪成的三段分别为,则围成的面积之和为,且这是条件极值问题。作函数为由得条件驻点,其中由实际问题有解,而驻点唯一,故问题的解在驻点取得。所求的最小面积为九(7分)证明若存在函数使得,则,,于是,而函数在区域D上一阶偏导是连续的,,由于,在区域D内积分与路径无关,设是区域D内取定的一点,为内任意一点,,于是由偏导的定义,同理,又偏导连续,于是.