网络本科数学 第一章作业(1).doc

《实变函数》网络作业1答案1、设,是互不相交的闭集,则有互不相交的开集,使,.证明: 令,,则易知,,,,,:设={1,2,…},假设是型集,则有中的开集使得,=.又记{}为只含有的单点集,则=(\)=(\)()=()()∵{}与均是闭集,显然,{}不含内点,又∵,而为可数稠集,∴不可能包含任何开区间,,这是不可能的.∴,则有区间Δ,使pΔ(Δ).证明: 设A有界(否则可取充分大,使,然后对有界的证本题).由于A可测,:存在开集GA,使GA=().,存在开集列使=,=G()=.所以存在,:,,使<pΔ(Δ).,,则;于是当或时,.证明: 因为,所以存在开区间使得,令,下面证明,,则区间包含区间的中点而且与区间的长度相同,,,则,但是,从而,,于是可取,这时存在使,因为,而且,从而,所以Ø.,则A,: 先证若可测,,由,那么上题2-47的结论:就应是中的一个非空开集,按中非空开集的构成性质,应有,其中构成区间两两不相交:且当端点时,,,存在一个构成区间且那么由已知,就应有,这时由于,不妨设(由于,在一般情况下如果,总可取并使充分接近来代替,对也同理).现在,一方面,由于,,,即,而,,在的构成区间中,(任意有限个的和集).就必然有一个构成区间满足,即.(这时必,否则与非空矛盾),这又与非空,,从而无界,至少有一点,,以上两种情况都说明,,若是可测集,则也必,从而与不可能都是可测集,否则,,还应该说明与也不可能有一个可测(例如可测),另一个不可测(例如不可测)(以下皆如此),与有限,则证明: 不妨设由的次可加性,有∴∴.,: 显然即:.由的次可加性∴.