采矿弹性力学基础弹性波的传播.ppt

CHAP 7 弹性波的传播§7-1 弹性波的微分方程§7-2 无旋波与等容波§7-3 平面波的传播§7-4 表层波的传播§7-5 球面波的传播2概述当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时,并不是在弹性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力。在作用开始时,距荷载作用处较远的部分仍保持不受干扰。在作用开始后,荷载所引起的位移、形变和应力,就以波动的形式用有限大的速度向别处传播。这种波动就称为弹性波。本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程然后介绍弹性波的几个概念针对不同的弹性波,对运动微分方程进行简化最后给出波在无限大弹性体中传播速度公式。3§7-1 弹性体的运动微分方程上述两条假设,完全等同于讨论静力问题的基本假设。因此,在静力问题中给出的物理方程和几何方程,以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程,仍然适用于讨论动力问题的任一瞬时所不同的仅仅在于,静力问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。本章仍然采用如下假设:(1)弹性体为理想弹性体。(2)假定位移和形变都是微小的。4对于任取的微元体,运用达朗伯尔原理,除了考虑应力和体力以外,还须考虑弹性体由于具有加速度而产生的惯性力。每单位体积上的惯性力在空间直角坐标系的x,y,z方向的分量分别为:其中ρ为弹性体的密度。22tu????22t?????22tw????§7-1 弹性体的运动微分方程5由平衡关系,并简化后得:上式称为弹性体的运动微分方程。它同几何方程和物理方程一起构成弹性力学动力问题的基本方程。022?????????????tufzyxxzxyxx????022?????????????tfxzyyxyzyy?????022?????????????twfyxzzyzxzz????§7-1 弹性体的运动微分方程6注1:几何方程xux????yy?????zwz????zywyz????????xwzuzx???????yuxxy????????§7-1 弹性体的运动微分方程7注2:物理方程)]([1zyxxE????????)]([1xzyyE????????)]([1yxzzE????????yzyzE???)1(2??zxzxE???)1(2??xyxyE???)1(2??§7-1 弹性体的运动微分方程8由于位移分量很难用应力及其导数来表示,所以弹性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移分量表示的弹性方程代入运动微分方程,并令:得:zwyxue??????????0)211()1(2222???????????tufuxeEx???0)211()1(2222???????????tfyeEy?????0)211()1(2222???????????twfwzeEz???§7-1 弹性体的运动微分方程9这就是按位移求解动力问题的基本微分方程,也称为拉密(Lame)方程。要求解拉密方程,显然需要边界条件。除此之外,由于位移分量还是时间变量的函数,因此求解动力问题还要给出初始条件。为求解上的简便,通常不计体力,此时弹性体的运动微分方程简化为:)211()1(2222uxeEtu????????????)211()1(2222??????????????yeEt)211()1(2222wzeEt?????????????§7-1 弹性体的运动微分方程10§7-2 无旋波与等容波一、无旋波所谓无旋波是指在弹性体中,波动所产生的变形不存在旋转,即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。假定弹性体的位移u,v,w可以表示成为:xu????y?????zw????其中是位移的势函数。这种位移称为无旋位移。而相应于这种位移状态的弹性波就称无旋波无旋波。),,,(tzyx???