例设(ξ,η).ppt

第四章随机变量的数字特征
随机变量的数学期望
作业题
P211
2, 3, 5, 7,9,11, 12,13, 15, 16,22,23, 25, 26, 27,28, 31, 38,41,42,49
例、甲、乙两人进行打靶,击中的环数分别记为ξ,η,它们的分布律分别为:
评定他们成绩的好坏。
η
p
8 9 10

ξ
p
8 9 10

一、离散型随机变量的数学期望
分布函数—全面刻画了随机变量的取值规律
特征数字—从某个侧面刻画随机变量的特征
例如:数学期望:刻画随机变量的平均取值
方差:刻画随机变量取值的偏离程度
若统计100天,
引例某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数ξ是一个随机变量. (假定小张每天至多出3件废品),那么如何定义ξ的平均值呢?
32天没有出废品;
30天每天出一件废品;
17天每天出两件废品;
21天每天出三件废品;
可以得到这100天中
每天的平均废品数为
这个数能否作为
ξ的平均值呢?
一平均值与加权平均值
可以想象,若另外统计100天,车工小张不出废品,出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同,.
n0天没有出废品;
n1天每天出一件废品;
n2天每天出两件废品;
n3天每天出三件废品.
可以得到n天中每天的平均废品数为
一般来说,若统计n天,
这是
以频率为权的加权平均
由频率和概率的关系
不难想到,在求废品数ξ
的平均值时,用概率代替
频率,得平均值为
这是
以概率为权的加权平均
这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量ξ的平均值.
定义设ξ是离散型随机变量,它的分布律是:
P{ξ=xk}=pk , k=1,2,…
如果
绝对收敛,定义ξ的数学期望为,
简称期望,又称均值。
注:1、为什么要绝对收敛?
2、为什么称为“数学期望”?
3、为什么又简称”均值”.?
二、离散型场合
“数学期望”名称的来历—分配赌金问题
甲乙两赌徒赌技相同,各出500元做赌金,假设没有和局。双方约定:先胜满三局者得全部赌金1000元。现在甲二胜一负却因故要退出比赛,问如何公平分配赌金?
方法一:平均分,每人500元
方法二:甲得三分之二,乙得三分之一
方法三:依照约定按个人胜的可能性分
数学期望有可能不存在
设随机变量ξ取值为
其对应概率为
尽管
但是
所以,ξ的数学期望不存在