排列,组合和概率.doc

1 排列、组合和概率本章知识总结一、两个基本原理(一) 分类计数原理:完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 1m 种不同的方法,在第 2 类办法中有 2m 种不同的方法……在第 n 类办法中有 nm 种不同的方法,那么完成这件事共有 nmmmN?????? 21 种不同的方法。(二) 分步计数原理:完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 1m 种不同的方法,做第 2 步有 2m 种不同的方法……做第 n 步有 nm 种不同的方法,那么完成这件事共有 nmmmN?????? 21 种不同的方法。分类计数原理和分步计数原理使用方法: (1 )单独使用; (2 )联合使用( 一般的解题步骤是:整体上先分类,局部上再考虑分步或再次分类)。例题精讲: 例1 :书架共有三层,上层有 6 本不同的数学书,中层有 5 本不同的物理书,下层有 4 本不同的生物书。(1) 从中任取一本书,有多少种不同的取法? (2) 从中任取数、理、生各一本书,有多少种不同的取法? (3) 若从中选出两本不同学科的书,有多少种不同的取法? 解:(1 )完成的事是取一本书,无论是数学、物理、生物均完成,从而应用分类计数原理,其结果是: 6+5+4=15 种。(2 )完成的事是取 3 本不同的书,只有从数学、物理、生物都各取 1 本后,才完成这件事,因此应用分类计数原理,其结果是: 120 456???种。(3)“从中选出两本不同学科的书”。既分类又分步:取1 本数学书和 1 本物理书用分步计数原理,有 30 56??种取法;同理,取 1 本数学书和 1 本生物书有 24 46??种取法;取 1 本物理书和 1 本生物书有 20 45??种取法。应用分类计数原理,共有 30+24+20=74 种取法。二、排列(一)定义:排列是分步计数原理的特殊情况,即从 n 个不同的元素中每次取一个元素,分 m 步,共取 m 个元素(有顺序) ,因此取法共有)1()2()1(????????mnnnn??种,这就是排列数公式 mnA 。(二)排列数公式: )1()2()1( )!( !???????????mnnnnmn nA mn??),,( *nmNmn??(三)全排列数公式: 123)2()1(!???????????? nnnnA nn (四)记住下列 n 个阶乘数: 0! =1,1! =1,2! =2,3! =6,4! =24 , 5! =120 ,6! =720 。 2 三、组合(一) 组合与排列的区别:在于组合是不计顺序的,而排列可以看作先组合后作全排列,因此 mm mn mnACA??那么组合数为 mm mn mnA AC?利用这一思路,求组合就是求排列的一部分。(二)组合数公式: 12)2()1( )1()2()1( )!(! !?????????????????????? mmm mnnnnmnm nC mn (三)组合数的性质( 1) mnn ??( 2) rn rn 1 1????四、解排列、组合题的基本策略与常用方法(1) 元素分析法:先考虑特殊元素要求,再考虑其他元素。(2) 位置分析法:先考虑特殊位置要求,再考虑其他位置(3) 插入法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素,然后再将有限制条件的元素按要求