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矩阵的特征值与矩阵的相似对角化
矩阵的特征值与矩阵的相似对角化矩阵的特征值与矩阵的相似对角化二. 矩阵相似对角形定义:
通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。
二. 矩阵相似对角形
对 阶方阵 ，如果可以找到可逆矩阵 ，
使得 为对角阵，就称为把方阵 对角化。
定义:
定理2： 阶矩阵 可对角化（与对角阵相似）
有 个线性无关的特征向量。
(逆命题不成立)
推论1 :若 阶方阵 有 个互不相同的特征值,
则 可对角化。（与对角阵相似）
说明：如果　的特征方程有重根，此时不一定有　个线性
无关的特征向量，从而矩阵　不一定能对角化．
推论2:　　阶方阵　相似于对角阵的充要条件是　的
每一个
重特征值对应　个线性无关的特征向量．
把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且
在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：
1. 由特征值、特征向量反求矩阵
例3：已知方阵 的特征值是
相应的特征向量是
求矩阵
解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 是3 阶方阵。
因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。
即存在可逆矩阵 , 使得
其中
求得
2. 求方阵的幂
例4：设 求
解：
可以对角化。
齐次线性方程组为
当 时，
系数矩阵
令 得基础解系:
齐次线性方程组为
当 时，
系数矩阵
令 得基础解系:
令
求得
即存在可逆矩阵 , 使得
3. 求行列式
例5：设 是 阶方阵， 是 的 个特征值，
计算
解：
方法1 求 的全部特征值，
再求乘积即为行列式的值。
设
的特征值是
即
的特征值是