高等数学IIB-第3次离线作业.doc

1 高等数学 IIB 第3 次作业二、主观题(共6 道小题)5. 利用极坐标计算下列各题: (1) 2 2 x y D e d ???, 其中 D 是由圆周 2 2 4 x y ? ?所围成的闭区域; 解: 利用极坐标变换, 2 2 2 2 2 2 4 0 0 0 0 1 4 4 [ ] ( 1) 2 r r I d re dr d e e ? ?? ??? ???? ? ?(2), 其中 D 是圆环闭区域: ≤≤解: 利用极坐标变换,I=46. 计算下列对弧长的曲线积分: (1) 2 2 ( ) nL x y ds ?∮, 其中 L 为圆周 cos , sin (0 2 ) x a t y a t t ?? ???解: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 ( cos sin ) sin cos 2 n n n I a t a t a t a tdt a adt a ? ???? ? ????? ?(2) ( ) L x y ds ??, 其中 L 为连接(1,0) , (0,1) 两点的直线段解: 1 1 2 0 0 ( 1 ) 1 ( 1) 2 2 I x x dx dx ? ??????? ? 7. 计算下列对坐标的曲线积分: (1) 2 2 ( ) L x y dx ??, 其中 L 是抛物线 2 y x ?上从点(0,0) 到点(2,4) 的一段弧; 解: 2 2 2 2 4 3 5 2 0 0 1 1 56 ( ) ( ) [ ] 3 5 15 L I x y dx x x dx x x ? ???????? ?(2) L ydx xdy ??, 其中 L 为圆周 cos , sin x R t y R t ? ?对应 t从0到2 ?的一段弧; 2