四点共圆模型.docx

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共圆模型
模型1 共端点，等线段模型

如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．
如图②，若OA＝OB＝OC，则A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
如图③，常见结论有：∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC.
模型分析
∵OA＝OB＝OC.
∴A、B、C三点到点O的距离相等．
∴A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
∵∠ACB是的圆周角，∠AOB是的圆心角，
∴∠ACB＝∠AOB.
同理可证∠BAC＝∠BOC.
（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．
（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题．
模型实例
如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB＝AC，AC＝AD，连接BD．
求证：∠1＋∠2＝90°.
证明

证法一：如图①，
∵AB＝AC＝AD．　　∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙A上．　∴∠ABC＝∠2.
在△BAC中，∵∠BAC＋∠ABC＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°.
证法二：如图②，
∵AB＝AC＝AD．∴∠BAC＝2∠1．∵AB＝AC，
∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙O上．
延长BA与圆A相交于E，连接CE．
∴∠E＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．）
∵AE＝AC，∴∠E＝∠ACE.
∵BE为⊙A的直径，∴∠BCE＝90°．
∴∠2＋∠ACE＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.
小猿热搜
1．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点 D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E．求证：∠1＝∠2．
证明
∵A、D关于AP轴对称，∴AP是BD的垂直平分线．
∴AD＝AB，ED＝EB．又∵AB＝AC.
∴C、B、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD. ∴∠2＝2∠∵∠1＝2∠CDB. ∴∠1＝∠2.
2．己知四边形ABCD，AB∥CD，且AB＝AC＝AD＝a，BC＝b，且2a＞b，求BD的长．

解答
以A为圆心，以a为半径作圆，延长BA交⊙A于E点，连接ED．
∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∠DAE＝∠CDA. ∵AC＝AD，
∴∠DCA＝∠CDA. ∴∠DAE＝∠△CAB和△DAE中．
∴△CAB≌△DAE. ∴ED＝BC＝b
∵BE是直径，∴∠EDB＝90°.
在Rt△EDB中，ED＝b，BE＝2a，
∴BD＝＝＝．
模型2 直角三角形共斜边模型
模型分析
如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC=OD=OA=OB，
∴A、B、C、D