线性代数 特征值与特征向量.ppt

第五章特征值与特征向量
在数学和工程技术的许多领域,如微分方
程、运动稳定性、振动、自动控制、多体系统动
力学、航空、航天等等,常常遇到矩阵的相似对
角化问题。而解决这一问题的重要工具就是特征
值与特征向量。为此,本章从介绍特征值与特征
向量的概念和计算开始,进而讨论矩阵与对角形
矩阵相似的条件,最后介绍相关的应用问题。
§
特征值与特征向量的定义和求法
=[a]是n阶方阵。若
存在数λ及非零列向量,
X=(x1,x2…,xn)
使得
AX=X或(a-A)X=0
则称为矩阵A的特征值,X为矩阵A的属于(或
对应于)特征值的特征向量
注意:;
,而特征值
不一定非零
下面讨论特征值和特征向量的解法
式子(aI-A)X=0
可写成以下线性方程组
222
2x.=0
ai-aax
0
如果X≠0是方程组的非零解,则有九
是-A的根。
反之,如果有孔是M-A的根,方程组有
非零解。
X=(x
1929
是A的特征值九的特征向量,是A的
特征根
,称-A为矩
阵A的特征矩陶-A为矩阵A的特征多项式,
A-A=0为矩阵A特征方程,(-A)X=0
为矩阵A的特征方程组。
综上,可得矩阵A的特征值与特征向量的求法:
(1)写出矩阵A的特征多项式a-A,它的
全部根就是矩阵A的全部特征值;
(2)设1,A2,…,、是矩阵A的全部互异
的特征值将A的每个互异的特征值2分别
代入特征方程组,得
I-AX=0
=12
分别求出它们的基础解系
X;1;X
i29
i
这就是特征值A1所对应的线性无关的特征
向量。
非零线性组合
k;nXa1+k2X2+…+knX
(=12,…,s)
是A的属于特征值λ(=1,2,…s)的全部特
征向量,其中k;为任意常数
例1设A=-431求A的特征值与特征向量
002
解
A+2
A-A|=44-3-1
0
0元-2
(2+1)(2-2
令(2+1)(2-2)2=0
得A的特征值为1=-1,2=私3=2
当λ1=-1时解方程组(-A)X=0
-A=4-4-1-001
00-3
000
得基础解系
故对应于A1=-1的全体特征向量为
k p
(k≠0)