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线性代数特征值与特征向量.ppt

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文档列表 文档介绍

第六章特征值与特征向量
向量的内积
方阵的特征值与特征向量
实对称矩阵的相似矩阵
相似矩阵
向量的内积
向量的内积与长度
标准正交基
施密特正交化方法
两向量的夹角
正交矩阵与正交变换
一、向量的内积与长度
定义1
设有n维向量
记
则[x,y]称为向量 x 与 y 的内积
注意
(1)按矩阵乘法有:
(2)内积就是几何向量的数量积之推广。
内积具有下列运算性质:
设x,y,z为n 维向量,
为实数,则有:
(对称性)
(线性性)
(正定性)
定义2
为 n 维向量 x 的长度
记
则称
称 x 为单位向量。
特别地,
设有 n 维向量
(或模,或范数)
例如 4维向量
的长度为:
为单位向量
而向量
定义3
则称θ为 n 维向量 x 与 y 的夹角。
由上述施瓦茨不等式易得:
于是有下面的定义:
二、两向量的夹角
记
例1 已知4维向量
求:向量
的夹角。
解
故所求向量的夹角为:
三、标准正交基
定义4
称向量 x 与 y 正交。
显然,零向量与任何向量正交。
定义5
一组两两正交的非零向量,叫正交向量组。
如上述例1中的向量
就正交。
线性无关。
定理1 如果 n 维向量
为正交向量组,
左乘上式两端,得
类似可证
证明
线性无关。
于是

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