裂项相消与放缩法解数列收集.doc

数列专题3一、裂项求和法裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,(裂项)如:通项为分式结构,分母为两项相乘,型如:,是的等差数列。常用裂项形式有:;;;;特别地:二、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法,叫放缩法。,其基本结构形式有如下4种:①(为常数);②;③;④(为常数).放缩目标模型→可求和(积)→等差模型、等比模型、(1)添加或舍去一些项,如:;(2)将分子或分母放大(或缩小)①;(程度大)②(程度小)③或④⑤平方型:;⑥立方型:⑦指数型:;⑧;⑨利用基本不等式,,如:(一)放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列例如:(1)求证:.(2)求证:.(3)求证:.总结:放缩法证明与数列求和有关的不等式,若可直接求和,就先求和再放缩;若不能直接求和的,“不大不小”的什么样的才行呢?其实,能求和的常见数列模型并不多,主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、,大多是等比模型或裂项相消模型.(1){an}的前n项和为Sn,满足4Sn=an+12-4n-1,n∈N*,且a2,a5,a14构成等比数列.(1)证明:;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有.(2)先放缩再求和例如:求证:.例如:函数,求证:.{an}的前n项和为Sn,满足,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,:一般地,形如或(这里)的数列,在证明(为常数):,,,数列的前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)求证:当时,;(3)试探究:当时,是否有?说明理由.(3)形如例如:设,求证:.根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式,不等式关系:注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式,若放缩成,则得,就放过“度”了。总结:形如的数列不等式证明:设和分别为数列和的前项和,若,利用不等式的“同向可加性”这一基本性质,,如果记看作是数列的前项和,则,,那么只要证其通项满足即可.(二)放缩目标模型—可求积放缩法证明与数列求积有关的不等式,方法与上面求和相类似,只不过放缩后的是可求积的模型,能求积的常见的数列模型是(分式型),:和记忆口诀:“小者小,大者大”,(解释:看,若小,则不等号是小于号,反之)。例如:求证:.例如:求证:。总结:形如的数列不等式证明:设和分别为数列和的前项积,若,利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质,,如果记看作是数列的前项积,则,,,.(1)求证:是等差数列,并求出的通项;(2)证明:对于,.(二)添加或舍去一些正项(或负项)若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。例如:已知,求证:.,其前n项和.(I)求之间的关系式,并求的通项公式;(II):满足:,,记.(I)求证:数列是等比数列;(II)若对任意恒成立,求t的取值范围;(III)证明:.