裂项相消与放缩法解数列专题.docx

数列专题3
一、裂项求和法
裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.
通项分解(裂项)如:通项为分式结构,分母为两项相乘,型如:, 是的等差数列。
常用裂项形式有:
;;
;
;
特别地:
二、用放缩法证明数列中的不等式
将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法,叫放缩法。
,其基本结构形式有如下4种:
①(为常数);②;③;④(为常数).
放缩目标模型→可求和(积)→等差模型、等比模型、裂项相消模型

(1)添加或舍去一些项,如:;
(2)将分子或分母放大(或缩小)
①; (程度大)
②(程度小)
③
或
④
⑤平方型:;
⑥立方型:
⑦指数型: ;
⑧;
⑨利用基本不等式,,如:
(一)放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列
例如:(1)求证:.
(2)求证:.
(3)求证:.
总结:放缩法证明与数列求和有关的不等式,若可直接求和,就先求和再放缩;若不能直接求和的,一般要先将通项放缩后再求和.
问题是将通项放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的才行呢?其实,能求和的常见数列模型并不多,主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中,大多是等比模型或裂项相消模型.
(1)先求和再放缩
{an}的前n项和为Sn,满足4Sn=an+12-4n-1,n∈N*,且a2,a5,a14构成等比数列.
(1)证明:;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有.
(2)先放缩再求和
例如:求证:.
例如:函数,求证:.
{an}的前n项和为Sn,满足,且a1,a2+5,a3成等差数列.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有.
总结:一般地,形如或(这里)的数列,在证明(为常数)时都可以提取出利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.
练****br/>,,,数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:当时,;
(3)试探究:当时,是否有?说明理由.
(3)形如
例如:设,求证:.
根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式,不等式关系:
注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式,若放缩成,则得,就放过“度”了。
总结:形如的数列不等式证明:
设和分别为数列和的前项和,若,利用不等式的“同向可加性”这一基本性质,,如果记看作是数列的前项和,则,,那么只要证其通项满足即可.
(二)放缩目标模型—可求积
放缩法证明与数列求积有关的不等式,方法与上面求和相类似,只不过放缩后的是可求积的模型,能求积的常见的数列模型是
(分式型),累乘后约简为.
姐妹不等式:和
记忆口诀:“小者小,大者大”,(解释:看,若小,则不等号是小于号,反之)。
例如:求证:.
例如:求证:。
总结:形如的数列不等式证明:设和分别为数列和的前项积,若,利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质,,如果记看作是数列的前项积,则,,那么只要证其通项满足即可.
,.
(1)求证:是等差数列,并求出的通项;
(2)证明:对于,.
(二)添加或舍去一些正项(或负项)
若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。
例如:已知,求证:.
,其前n项和.
(I)求之间的关系式,并求的通项公式;
(II)求证
:满足:,,记.
(I)求证:数列是等比数列;
(II)若对任意恒成立,求t的取值范围;
(III)证明:.

(三)固定一部分项,放缩另外的项
{an}=1,,n∈N*.
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有.
练****br/>,则的整数部分是( )

,为其前n项和,且, .
(I)求数列的通项;
(II)求证:.
数列专题3
一、裂项求和法
裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.
通项分解(裂项)如:通项为分式结构,分母为两项相乘,型如:, 是的等差数列。