高二数学竞赛试卷.doc

:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上;⒉不准使用计算器;⒊考试用时120分钟,、选择题:本大题共5小题,每小题6分,,=3,,且,,且函数的周期为5,若,则的值为 ,,长8m,用6种颜色的11m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的,每种颜色的地砖都足够多),要求相邻的两块地砖颜色不同,、填空题:本大题共6小题,每小题6分,,则=.、为焦点的椭圆=1()上一动点P,当最大时的正切值为2,则此椭圆离心率e的大小为。(第7题)-A1B1C1D1是边长为3的正方体,点P、Q、R分别是棱AB、AD、AA1上的点,AP=AQ=AR=1,,且,,则过点和N*)的直线的斜率是__________。,点的坐标满足当(为坐标原点)的最小值是时,。若到点的交通距离相等,其中实数满足,则所有满足条件的点的轨迹的长之和为。班级座号姓名三题号一二总成绩13141516得分一、选择题(本题满分36分,每小题6分)题号12345答案二、填空题(本题满分54分,每小题9分)本题共有6小题,. 7。。11三、解答题:本大题共4小题,、证明过程和演算步骤12.(本小题满分20分)已知函数f(x)=2x+alnx(1)若a<0,证明:对于任意两个正数x1,x2,总有≥f()成立;(2)若对任意x∈[1,e],不等式f(x)≤(a+3)x-x2恒成立,求a的取值范围。13.(本小题满分21分)如图所示,等腰的底边,高,点是线段上异于、,,使。记,表示四棱锥的体积(1)求的表达式;(2)当为何值时,取得最大值?(3)当取得最大值时,.(本小题满分21分)已知抛物线的对称轴为,且与坐标轴有三个交点,经过这三点的圆记为.(1)求实数的取值范围;(2)设抛物线与x轴的左交点为A,直线是抛物线在点A处的切线,试判断直线是否也是圆的切线?.(本小题满分22分)已知数列满足递推关系式:,.(1)若,证明:(ⅰ)当时,有;(ⅱ)当时,有.(2)若,证明:当时,,即方程的两根,也就是函数与的图象交点的横坐标,如图易得交点的横坐标分别为显然,则,:D解:铺第一列(两块地砖)有种方法;、两色(如图),那么,,则有种铺法;若不铺色,,若前一列铺好,,,令得∴=:当最大时P为椭圆与y轴的交点,的正切值为2,即,∵,则椭圆离心率e为。:简解:因为C1C⊥面ABCD,所以C1C⊥⊥BD,所以BD⊥1,所以AC1⊥∥BD,所以AC1⊥⊥⊥=AQ=AR=1,所以PQ=QR=RP=.因为AC1=3,且VA-PQR=··12·1=,所以VC-PQR=··()2·3-VA-PQR=.:由消去得。直线的斜率为,∴,画出可行域,知当P点落在直线上时,取得最小值为,。由条件得。当时,无解;当时,无解;当时,无解;当时,,线段长为。当时,,线段长为。当时,线段长为。当时,无解。当时,无解。当时,无解。综上所述,点的轨迹构成的线段的长之和为。12解:(I).………(5分)因为所以,,又,故,所以,…(10分)(Ⅱ)因为对恒成立,故,,因为,所以,因而,………………(15分)设因为,当时,,,所以,又因为在和处连续,所以在时为增函数,所以…………………………(20分)13.(1)又,平面且,,四棱锥的底面积为