信道容量的计算.doc

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这里,我们介绍一般离散信道的信道容量计算方法,根据信道容量的定义,就是在固定信道的条件下,对所有可能的输入概率分布求平均互信息的极大值。前面已知是输入概率分布的上凸函数,所以极大值一定存在。而是个变量的多元函数。并且满足。所以可用拉格朗日乘子法来计算这个条件极值。引入一个函数:解方程组
()
可以先解出达到极值的概率分布和拉格朗日乘子的值,然后在解出信道容量。因为
而,所以
。
解()式有
(对都成立)
又因为


所以()式方程组可以转化为


假设使得平均互信息达到极值的输入概率分布这样有

从而上式左边即为信道容量,得

现在令

式中,是输出端接收到Y后获得关于的信息量,即是信源符号对输出端Y平均提供的互信息。
一般来讲,值与有关。根据()式和()式,

所以对于一般离散信道有如下定理。
一般离散信道的平均互信息达到极大值(即等于信道容量)的充要条件是输入概率分布满足
对所有的
对所有的
这时C就是所求的信道容量。
对于离散信道来说,其实信道容量还有一个解法:迭代解法。
设信道的向前转移概率矩阵为,是任给的输入字母的一个初始概率分布,其所有分量。按照下式不断地对概率分布进行迭代,更新:

其中

由此所得的序列收敛于信道容量C。
我们还可以将上述过程写成算法以便编制程序实现()


开始




信道容量的迭代算法
对于一些特殊的离散信道,我们有方便的方法计算其信道容量。
设X和Y分别表示输入信源与输出信源,则我们称为损失熵,为信道噪声熵。
如果信道的损失熵,则次信道容量为
(bit/符号)这里输入信源X的信源符号个数为。
如果信道的噪声熵,则此信道容量为
(bit/符号)
这里输出信源符Y的符号个数为s.
一个信道Q称为对称离散信道,如果它满足下面的性质:
信道Q矩阵中每一行是另一行的置换;
每一列式另一列的置换。
例如,信道矩阵
和
满足对称性,所以对应信道是对称离散信道。
对称离散信道的信道容量为
(bit/符号)
上式只与対称信道矩阵中行矢量和输出符号集的个数s有关。
证明
而

由于信道的对称性,所以与无关,为一常熟,即


接着举一个例子加以说明。
某对称离散信倒的信道矩阵为

用公式计算信道容量


(bit/符号)
若信道矩阵Q的列可以划分成若干互不相交的子集矩阵,即且。由为列组成的矩阵是对称矩阵,则称信道矩阵Q所对应的信道为准对称信道。
例如,信道矩阵

都是准对称信道,在信道矩阵中,Y可以划分为三个子集,由子集的列组成的矩阵为
, ,
它们满足对称性,所以对应的信道是准对称信道。同理可划分为
,
这两个矩阵也满足对称性。
下面,我们给出准对称离散信道的信道容量计算公式

其中,是输入符号集的个数,为准对称信道矩阵中的行矢量。设矩阵可划分为
个互不相交的子集。是第个子矩阵中行元素之和,是第个子矩阵中列元素之和,即


并且可以证明达到准对称离散信道容量的输入分布式等概分布,我们将推导作为****题留给读者。
0 0
1-p-q

q
p

p 2

q
1-p-q
1 1
设信道传递矩阵为
,计算其信道容量
根据上面计算公式可得
则有



下面我们举一些其他信道容量的例子
,输入符号集为,输出符号集为,信道矩阵为







由于输入符号传递到和是等概率的,所以可以省去。而且与,都分别传递到和,因此可只取和,所以设输入概率分布,,可以计算得,



可见,,因此,信道容量
(bit/符号)
最佳分布是
若设输入分布为。同理可得,


从而,输入分布也是最佳分布,可见,信道最佳输入分布不是唯一的。
对于一般的离散信道,我们很难利用特殊计算方法,因此只能采用解方程组式()的方法。
我们将()式的前r个方程组改写成


移项后得


令,代入上式得


化为矩阵形式为

这是含有个未知数个方程的非齐次线性方