2012年考研数学三真题与答案解析.doc

2012年考研数学三真题
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。)
曲线y=x2+xx2-1渐近线的条数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】C。
【解析】
由limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2-1=1=limx→-∞y=limx→-∞x2+xx2-1,
得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线;
由limx→1y=limx→1x2+xx2-1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线;
由limx→-1y=limx→-1x2+xx2-1=12得x=-1不是曲线的渐近线;
综上所述,本题正确答案是C
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线
设函数fx=(ex-1)(e2x-2)⋯(enx-n),其中n为正整数,则f'0=
(A)-1n-1n-1! (B) -1nn-1!
(C)-1n-1n! (D) -1nn!
【答案】A
【解析】
【方法1】
令gx=(e2x-2)⋯(enx-n),则
fx=(ex-1)gx
f'(x)=exgx+(ex-1)g'x
f'0=g0=-1-2⋯(-(n-1))
=-1n-1n-1!
故应选A.
【方法2】
由于f0=0,由导数定义知
f'0=limx→0f(x)x=limx→0(ex-1)(e2x-2)⋯(enx-n)x
=limx→0(ex-1)x∙limx→0(e2x-2)⋯(enx-n)
=-1-2⋯-n-1=-1n-1n-1!.
【方法3】
排除法,令n=2,则
fx=(ex-1)(e2x-2)
f'x=exe2x-2+2e2x(ex-1)
f'0=1-2=-1
则(B)(C)(D)均不正确
综上所述,本题正确答案是(A)
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念
设函数f(t)连续,则二次积分0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr=
(A)02dx2x-x24-x2x2+y2f(x2+y2)dy
(B) 02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy
(C) 02dy1+1-y24-y2x2+y2f(x2+y2)dx
(D) 02dy1+1-y24-y2f(x2+y2)dx
【答案】B。
【解析】
令x=rcos θ,y=rsin θ,则r=2所对应的直角坐标方程为x2+y2=4,r=2cos θ所对应的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1。
由0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr的积分区域
2cosθ<r<2,0<θ<π2
得在直角坐标下的表示为
2x-x2<y<4-x2, 0<x<2
所以0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr=02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy
综上所述,本题正确答案是(B)。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算
已知级数n=1∞(-1)nnsin1nα绝对收敛,级数n=1∞(-1)nn2-α条件收敛,则
(A)0<α≤12 (B) 12<α≤1
(C)1<α≤32 (D) 32<α<2
【答案】D。
【解析】
由级数n=1∞(-1)nnsin1nα绝对收敛,且当n→∞时(-1)nnsin1nα~1nα-12,故α-12>1,即α>32
由级数n=1∞(-1)nn2-α条件收敛,知α<2
综上所述,本题正确答案是(D)
【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定
设α1=00c1,α2=01c2,α3=1-1c3,α4=-11c4,其中c1,c2,c3,c4为任意常数,则下列向量组线性相关的为
(A) α1,α2,α3 (B) α1,α2,α4
(C) α1,α3,α4 (D) α2,α3,α4
【答案】C。
【解析】
n个n维向量相关⇔α1,α2,⋯αn=0
显然α1,α3,α4=01-10-11c1c3c4=0
所以α1,α3,α4必线性相关
综上所述,本题正确答案是(C)。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关
设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且P-1AP==α1,α2,α3,Q=(α1+α2,α2,α3),则Q-1AQ=
(A) 100020001 (B)100010002
(C) 200010002 (D)200020001
【答案】B。
【解析】由于P经列变换(把第2列加至第1列)为Q,有
Q=P100110001=PE21(1)
那么Q-1AQ=[PE21(1)]-1APE21(1)=E21(1)-1P-1APE21(1)
=100-110001100