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浅析幂级数展开式的应用
摘要：函数展成幂级数能解决许多疑难问题。本文讨论了幂级数展开式在解决数学问题中的应用。
关键词：函数；幂级数；展开式
Analyses the Application of the Power Series Expansions
Abstract：Function generative power series can solve a lot of difficulty .This paper discussed the power series expansions of the application in solving math problems.
Key words：function，power series，expansion
目 录
0 引言 1
1　幂级数的展开 1
直接展开法 1
间接展开法 1
2 幂级数展开式的应用 2
利用幂级数求极限 2
　幂级数在不等式证明中的应用 2
　幂级数在组合恒等式中的应用 3
　应用幂级数求高阶导数 4
　应用幂级数展开式推导欧拉公式 5
　求非初等函数的原函数 5
　利用幂级数求数项级数的和 6
幂级数在微分方程中的应用 7
幂级数应用于近似计算 8
3 结束语 11
参考文献 11
致谢 12
浅析幂级数展开式的应用
0 引言
形如的函数项级数称为幂级数，巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质，常能将问题化难为易，简化计算.
1　幂级数的展开
函数展开成幂级数主要有直接展开和间接展开两种方法.
直接展开法
，函数的各阶导数不一定容易求得，其次，要证明余项 ，即使在初等函数中也是比较困难的.
间接展开法
间接展开法是根据函数的幂级数展开式的唯一性，选择与待展函数有关的已知函数展开式对其进行必要的运算，一般用的方法有：
（1）应用基本展开式，通过变量替换或恒等变形转化为可应用基本展式；
（2）应用逐项求导或逐项积分法；
（3）应用级数的用算，如加、减、乘、除等；
（4）用待定系数法.
这样简化计算过程，.
2　幂级数展开式的应用
幂级数是一类简单的函数项级数，通过幂级数的展开式来表示函数常能解决许多疑难问题，它在求极限、不等式的证明、组合分析、欧拉公式的推导、近似计算等方面有很重要的作用.
　利用幂级数求极限
例1　求极限.
解　因为

所以我们可以得到

又因为
所以

　幂级数在不等式证明中的应用
例2　证明不等式 .
证明　因为

而

由于
所以就可以得到
　幂级数在组合恒等式中的应用
例3　证明 .
证明　由于

所以是展开式的系数，同理可得
是展开式的系数
从而得到
是展开式的系数
又
所以
　应用幂级数求高阶导数
例4　设，求.
解　由题目知
令，则上式就为

由此可以得到

　应用幂级数展开式推导欧拉公式
例5　试用幂级数展开式推导欧拉公式：
.
解　当为实数时，由指数函数的幂级数展开式知

用纯虚数代替变量，有
由于
，，，，，
从而得到
即

在式中以替换可得

由两式可得

　求非初等函数的原函数
例6　求连续函数的原函数.
解 由积分知识我们可知的原函数为

因为

令，从而得到

对幂级数在收敛区间内逐项求积分得
　利用幂级数求数项级数的和
例7　计算数项级数的和.
解　首先构造一个辅助幂级数使其符合下面条件：
　使为幂级数当取特定值时的结果
辅助幂级数容易求和
本题取辅助级数，此时其收敛域为，然后求辅助幂级数的和函数


记