约束问题的最优化方法.pdf

§。但是,在工程实际中,优化问题大都是属于有约束的优化问题,即其设计变量的取值要受到一定的限制,用于求解约束优化问题最优解的方法称为约束优化方法。根据约束条件类型的不同可以分为三种,其数学模型分别如下:1、不等式约束优化问题(IP型)minF(x)nx∈D⊂R≥=(x)0,u1,2,...,p2、等式约束优化问题(EP型)minF(x)nx∈D⊂R==(x)0,v1,2,...,q3、一般约束优化问题(GP型)minF(x)nx∈D⊂R(x)≥0,u=1,2,...,phv(x)=0,v=1,2,...,q:约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。直接解法:随机方向搜索法、复合形法、可行方向法间接解法:内点惩罚函数法、外点惩罚函数法、:基本思想:合理选择初始点,确定搜索方向,以迭代公式x(k+1)=x(k)+α(k)S(k)在可行域中寻优,经过若干次迭代,收敛至最优点。适用范围:只能求解不等式约束优化问题的最优解。基本要点:选取初始点、确定搜索方向及适当步长。搜索原则:每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。可行性:迭代点必须在约束条件所限制的可行域内,即满足gu(x)≥0,u=1,2,…,p适用性:当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的,即满足F(xk+1)<F(xk)收敛条件:•边界点的收敛条件应该符合K-T条件;(k+1)(k)+f(x)−f(x)•内点的收敛条件为:x(k1)−x(k)≤ε和≤ε1f(x)(k)2特点:①在可行域内进行;②若可行域是凸集,目标函数是定义在凸集上的凸函数,则收敛到全局最优点;否则,结果与初始点有关。:目的:将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。前提:一不能破坏约束问题的约束条件,二使它归结到原约束问题的同一最优解上去。惩罚函数法:通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题,进而用无约束最优化方法去求解。惩罚函数法是一种使用很广泛、很有效的间接解法。基本思想:以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数Φ(x,r1,r2),将约束优化问题转化为无约束优化问题。通过不断调整加权因子,产生一系列Φ函数的极小点序列x(k)*(r1(k),r2(k))k=0,1,2…,逐渐收敛到原目标函数的约束最优解。mp+新目标函数:Φ(x,r,r)=f(x)+r1∑G[gu(x)]r2∑H[hv(x)]12u=1v=1pM(k)(k)rH[hv(x)]其中rG[gu(x)]和∑称为加权转化项,并根据它们在惩∑v=1罚函数中的作用,分别称为障碍项和惩罚项。u=1障碍项:当迭代点在可行域内时,在迭代过程中阻止迭代点越出边界。惩罚项:当迭代点在非可行域或不满足不等式约束条件时,在迭代过程之中迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。加权因子(即惩罚因子):r1,r2无约束优化问题:(x,r1,r2)(k)(k)Φ函数的极小点序列x(k)*(r1,r2)k=0,1,2…m其收敛必须满足:(k)(k)limr1G[gu(x)]=0k→∞∑u=1(k)limr2H[h(x)]=0k→∞v(k)(k)(k)(k)lim[Φ(x,r1,r2)−f(x)]=0k→∞分类:根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同,罚函数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。,把不等式约束引入数学模型中,为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。适用范围:求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。§(障碍函数法):内点法将新目标函数Φ(x,r)构筑在可行域D内,随着惩罚(k)(k)因子r的不断递减,生成一系列新目标函数Φ(xk,r),在可(k)行域内逐步迭代,产生的极值点xk*(r)序列从可行域内部趋向原目标函数的约束最优点x*。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。:m1①.Φ(x,r(k))=f(x)−r(k)其中:∑gu(x)≤0,u=1,2,...mu=1gu(x)m1②Φ(k)=+(k)其中:.(x,r)f(x)r∑gu(x)≥0,u=1,2,...mu=1gu(x)m③(k)(k)(x,r)=f(x)−∑ruu=1gu(x)m1④Φ(k)=+(k).(x,r)f(x)r∑2u=1[gu(x)]m⑤(k)(k).Φ(x,r)=f(x)−r∑ln[−gu(x)]u=1其中:惩罚(加权)因子r(0)>r(1)>....r(k)r(k−1)⋅c=r(k)降低系