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矩阵二次型
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一、二次型及其标准形的概念
称为二次型.
（我们仅讨论实二次型）
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例如：
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化二次型为标准形
对二次型 作可逆变换 ，
相当于对对称阵 作合同变换；
把二次型化成标准形相当于把对称阵 用合
同变换化成对角阵(称为把对称阵合同对角化)，
即寻找可逆阵 , 使 .
定理 任给二次型 , 总
其中 是 的矩阵 的特征值.
即任何二次型都可用正交变换化为标准形.
存在正交变换 ，使 化为标准形
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用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
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解
1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
例
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从而得特征值
2．求特征向量
3．将特征向量正交化
得正交向量组
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4．将正交向量组单位化，得正交矩阵
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于是所求正交变换为
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解
例3
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化为标准型，并指出 表示何种二次
曲面.
求一正交变换，将二次型
作业
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思考题解答
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定理 任给二次型 , 总
其中 不一定是 的矩阵 的
特征值.
存在满秩变换 ，使 化为标准形
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初等变换化二次型为标准型
而任意可逆矩阵是可以分解为若干初等矩阵的乘积
定理 任给二次型 , 总
其中 可能是 的矩阵 的
特征值.
存在满秩变换 ，使 化为标准形
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用 阶单位矩阵 及矩阵 ，构造
每次对矩阵 做初等行变换后，立即对
做同类型初等列变换。
经过若干次这样的变换后，当 化为对角阵时，而 就化为变换矩阵 。
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惯性定理(Inertia Theorems)
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标
准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，
显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形
中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．
下面我们限定所用的变换为实变换，来研究
二次型的标准形所具有的性质．
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定理
(惯性定理)
设有二次型 ，它
的秩为 ，有两个可逆变换
及
使