计算方法9.3汇总.ppt

误差估计与稳定性§ 2017-6-12 1 常微分方程初值问题的求解,是将微分方程转化为差分方程来求解,并用数值解 y i来近似替代精确解 y(x i),这种近似替代是否合理,还与分割区间[x i-1,x i]的长度有关,当步长 h越来越小, 即h=x i-x i-1→0时,判断 y i→y(x i)是否成立。若成立, 则称该数值方法是收敛的,否则称为不收敛的。)(''2 ))(,()()( 2 1 n nnnny hxyxhfxyxy 2017-6-12 2 在推导欧拉公式或梯形公式时,利用数值微分代替导数项, 得到差分方程。)(''2 )(' )()( 1nn nny hxyh xyxy)(''2 ))(,( )()( 1nnn nny hxyxfh xyxy称为局部截断误差。显然,这个误差在逐步计算过程中会传播,积累。因此还要估计这种积累一、误差与收敛性若某数值方法的局部截断误差为 O(h p +1) ,则称这种数值方法的阶数是 p ,或称该数值方法具有 p阶精度。 在假设 y i =y(x i) ,即第 i 步计算是精确的前提下, 用某种数值方法计算 y i +1 ,考虑的截断误差 R i = y(x i +1 ) y i +1 称为该数值方法计算 y i +1的局部截断误差。 2017-6-12 3 定义 定义 讨论常微分方程的数值解法的误差,主要分析求解公式局部截断误差和整体截断误差,并引入阶数的概念。步长( h< 1) 越小, p越高, 则局部截断误差越小, 计算精度越高。 2017-6-12 4 1. 欧拉公式的局部截断误差 11)(  iiiyxyR )]()(2 )()([ 3 2hOxy hxyhxy iii)],([ iiiyx hfy设f(x,y)充分光滑,将y(x i +1)在x i点作 Taylor 展开: )()(2 3 2hOxy h i)( 2hO欧拉法具有 1 阶精度。 2017-6-12 5 2. 梯形公式的局部截断误差采用梯形公式求积分项时,根据梯形公式的误差可得到1)(, iixx dx xyxf )],(),([2 11 1 iiiiiiyxfyxf hyy )(12 ))] (,( ))(,([2 )()( 311 1 i iiiiii f hxyxfxyxf hxyxy 由梯形公式可知],[ 1 iiixx其中 2017-6-12 6 比较两式得)(12 ))] (,( ))(,([2 )()( 311 11 f hxyxfxyxf hxyyxy iiiiiii )],(),([2 11iiiiiyxfyxf hy)(12 3f h)( 3hO梯形法具有 2 阶精度。 2017-6-12 7 3. 欧拉预估-校正方法的局部截断误差),(),(2 )0(1 1 1 i iiiiiyxfyxf hyy欧拉预估-校正公式的第二式),( 1iiyxhfK),(),( )0(1 )0(1 12 i ii iyhxhf yxhfK ),( )0(1 iiiiyxhfyy1Ky i),( 1Kyhxhf ii 21 12 1KKyy ii 2017-6-12 8 按局部截断误差定义,假设 y i=y(x i)前提下, ))(,(),( 1 1 2 KxyhxhfKyhxhfK iiii)(),( iiixyyxf )( ))(,( ))(,( ))(,( 2 1hOxyxfy Kxyxfx hxyxfh iiiiii展开)( ))(,( ))(,( ))(,( ))(,( 3 2 hOxyxfy xyxfxyxfx hxyxhf iiiiiiii ))(,( 1iixyxhfK)()()( 3 2hOxyhxyh ii且)(),( 1iiixyhyxhfK  2017-6-12 9  21 12 1KKyy ii)()()()(2 1 3 2hOxyhxyhxyhy iiii而)()( 1hxyxy ii展开1 iiixx其中)(!3 )(!2 )()( 3 2iiiiy hxy hxyhxy)()()(!3 )( 33 311hOhO y hyxyR iiii 欧拉预估-校正法与梯形法一样,具有 2