《线性代数》常见计算题型及常用思路.docx

《线性代数》常见计算题型及常用思路
计算题
（必须掌握）
x，…,x
最常用方法：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为‘1 't），
x = k，•…，x = k k，….，k
然后对自由未知量《线性代数》常见计算题型及常用思路
计算题
（必须掌握）
x，…,x
最常用方法：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为‘1 't），
x = k，•…，x = k k，….，k
然后对自由未知量赋予任意值，即设 '1 1 't f，这儿1 '为任
k，.…,k
意常数。把赋予自由未知量的值带入方程组，解除方程组的解（是关于 1 '的一
些表达式）
方法（1）的变形：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为
x，•…，x d，.…,（X g Ft
'1 't）。设1 ' 是 的一组基（常取自然基）。然后令
（X，.…,X ） , j = 1,2, •…t X，….，X
'1 't j ，分别解得方程组的解： 1 t （这是
X = k X H b k X k，…，k
一个基础解系）。则可知方程组的解为 11 t t，这儿1 t
为任意常数。（一般解）
Cramer法则。注意：Cramer法则只对系数矩阵可逆的情形适用。
b g V（F） X，…,d g V（F）
题型2 .将卩G八"用1’ ' m '丿线性表示（或求坐
标）
x ,...,x B = xd b bx d
常用思路：待定系数法。设 1 m使得 11 m m。然后根据
x , • • •, x
题设条件得到关于1 m的一个方程组。解方程组。
方法二： （如果已知在某一组基下的矩阵）
m '丿的线性相关性
x，.…,x 0 = xd b bx d
常用思路：待定系数法。设1 m使得 11 m m。然后根据题
x , • • •, x
设条件得到关于 1 m的一个方程组。解方程组。如果方程组只有零解，则
d，.…,d g V（F）
1 m 线性相关。反之，线性无关。
d，…，d g V（F）
’ ' m '丿的极大无关组及秩
x，.…,x 0 = xd b bx d
常用思路：待定系数法。设1 m使得 11 m m。然后根据题
x，•…,x
设条件得到关于1 m的一个方程组。用高斯消元法化简方程组，得到自用未知
x a
量。不是自用未知量的i所对应的i放到一起，就构成了原向量组的一个极大无关组。
常用方法：找到一组有限生成元，转化为题型4。
a，…，a g Fn 厂
m 扩充为"一组基
a，…,a g Fn
常用思路：首先确定出 i m 的一个极大无关组，设为
a，.…,a g Fn x，.…,x
1 ' 。然后设1 n，构建线性方程组
r（x，•…,x ）a = 0
1 n 1
(x ….,x )a = 0
1 nt
a，.…,a g Fn
（假设1 m 是列向量）
X，…,X g Fn 然后解除上面方程组的一个基础解系，设为 1 n
n-1 a ，.…,a ,X ,...,X g Fn
定有 个）。贝1 ' 1 n