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有限元复****资料工程问题的研究对象: 离散体:材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类问题,称为离散系统。离散问题是可解的连续体:通常可以建立它们应遵循的基本方程,即微分方程和相应的边界条件。通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题,还无法给出精确的解答。有限元方法的两大应用: 科学计算或数值模拟数字设计或虚拟仿真(CAD CAM CAE) 有限元法的实质: 将复杂的连续体划分为有限个简单的单元体,化无限自由度问题为有限自由度问题。将连续场函数的(偏) 微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。有限元法的基本思路: 将连续系统分割成有限个分区或单元, 对每个单元提出一个近似解, 再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统有限元分析的基本步骤:1 )建立研究对象的近似模型。 2 )将研究对象分割成有限数量的单元( 结构离散化) 3 )用标准方法对每个单元提出一个近似解(单元分析) (1 )选择位移模式(2 )建立单元刚度矩阵(3 )计算等效节点力 4 )将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统(单元集成) 5 )用数值方法求解这个近似系统。(选择合适计算方法计算节点位移、应力、应变) 6 )计算结果处理与结果验证(如何显示、分析数据并找到有用的结论) 弹性力学的基本假设:(1 )连续性( 2 )均匀性(3 )各向同性(4 )完全弹性符合( 1)- (4 )假定的称为理想弹性体。(5 )小变形假定满足以上五个基本假设的弹性力学称为线弹性力学。弹性力学中的基本量:1 )外力( 体力面力集中力) 弹性体受外力以后,其内部将产生应力。三种外力应力( 正应力剪应力)应力成对出现,坐标面上的应力以正面正向,负面负向为正。六个应力分量剪应力互等定律: 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等,正负号也相同)。弹性体在受外力以后,还将发生变形。物体的变形状态,一般有两种方式来描述: 1 、给出各点的位移; (运动)三个位移分量 2 、给出各微元体的变形(应变)六个应变分量在弹性体内部,三类基本方程: 根据微分体上力的平衡条件( 法向应力和剪应力即内力与其体力平衡),, 建立平衡微分方程; 根据微分线段上应变-位移的几何条件,建立几何方程; 根据应力-应变间的物理条件,建立物理方程当沿 X 轴方向的两个对面受有均匀布的正应力时, 弹性体在 X 方向的伸长还伴随有侧收缩, 即在 y和Z 方向的单位缩短。任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关。在弹性体边界上,边界条件两类: 根据面力条件,建立应力边界条件; 根据约束条件,建立位移边界条件。有限元求解方法: 1 )位移法 2) 应力法什么是平面应力问题?什么是平面应变问题?平面问题的变量: 3 个应力分量、 3 个应变分量、 2 个位移分量。平面问题几何方程(几何方程对于平面应力和平面应变问题相同) 平面问题的物理方程平面应力平面应变问题弹性矩阵??????????????????????????????????????????????v uxy y x xy y x0 0????平面问题的平衡方程弹性力学一般原理圣维南原理: 对于作用于物体局部边界上的面力用另一组与之静力等效( 主矢和主矩相等) 并且作用于同一小块表面上的力系来代替, 则在力系作用区域的附近, 应力分布将有显著的改变,但在远处所受的影响可不计。叠加原理: 在线弹性( 物理线性) 和小变形( 几何线性) 情况下, 作用于物体上几组荷载产生的应力和变形的总效应,等于每组荷载单独作用效应的总和。解的唯一性: 在满足叠加原理的条件下, 弹性力学的解是唯一的。即结果与过程和方法无关。虚功原理: 弹性力学中的虚功原理可表达为: 在外力作用下处于平衡状态的弹性体, 如果发生了虚位移, 那么所有的外力在虚位移上的虚功( 外力功) 等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功( 内力功) 最小势能原理: 在满足位移边界条件的所有可能位移中, 实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态, 实际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然, 最小势能原理与虚功原理完全等价弹簧单元刚度方程杆单元的刚度方程 21??? EEu??1 ??0 0?????????????? y y xy x xy xfyx fyx????为体力分量。, yxff ????????????????????? j i j iu ukk kkf f???????????????????????????????????? j i j i j iu uL EA u ukk kkf f11 11 弹性体虚位移原理导出单元刚度方程。二维空间中的杆单元总体坐标系中的单元刚度矩阵平面