第4节 幂函数与二次函数.doc

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第4节　幂函数与二次函数
考试要求　，结合3]∪[0，＋∞)
解析　依题意，得Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3.∴实数m的取值范围是{0，－3}.
答案　A
6.(2018·上海卷)已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.
解析　由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.
又y＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，取α＝－1.
答案　－1
考点一　幂函数的图象和性质
【例1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　)
(2)(2020·衡水中学调研)已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b
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＝f(ln π)，c＝f(2－)，则a，b，c的大小关系是(　　)
<c<b <b<c
<c<a <a<c
解析　(1)设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C正确.
(2)由于f(x)＝(m－1)xn为幂函数，
所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn.
又点(2，8)在函数f(x)＝xn的图象上，
所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R上是增函数，
又ln π>1>2－＝>，
所以f(ln π)>f(2－)>f，则b>c>a.
答案　(1)C　(2)A
规律方法　，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
【训练1】 (1)(多选题)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　)

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C.(0，＋∞)上的增函数
D.(0，＋∞)上的减函数
(2)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)
A.－1<m<0<n<1 B.－1<n<0<m
C.－1<m<0<n D.－1<n<0<m<1
解析　(1)由题意得a－1＝1，且＝ab，因此a＝2，且b＝－1，故f(x)＝x－1是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数.
(2)幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.
当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.
不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.
综上可知，－1<n<0<m<1.
答案　(1)AD　(2)D
考点二　二次函数的解析式
【例2】 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.
解　法一　(利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
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由题意得解得
∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二　(利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三　(利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(