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随机变量及其分布列知识点
第1页，本讲稿共19页
ξ取每一个值 的概率
ξ
x1
x2
…
xi
…
p
p1
p2
…
pi
…
为随机变量x的概率分布列，简称x的分布列.
随机变量及其分布列知识点
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ξ取每一个值 的概率
ξ
x1
x2
…
xi
…
p
p1
p2
…
pi
…
为随机变量x的概率分布列，简称x的分布列.
则称表格
设离散型随机变量ξ可能取的值为
注:离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
离散型随机变量的分布列
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如果随机变量ξ的分布列为：
一、两点分布列
ξ
1
0
P
p
1-p
这样的分布列称为两点分布列(又称0-1分布),称随机变量ξ服从两点分布,而称P(ξ=1) =p为成功概率.
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二、超几何分布
k=0,1,2, …… , m
则随机变量X的概率分布列如下：
像上面这样的分布列称为
超几何分布列.
如果随机变量X的分布列为超几何分布列，就称X服从超几何分布。
X
0
1
……
m
P
……
注:超几何分布的模型是不放回抽样
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三、二项分布
于是得到随机变量X的概率分布如下：
X
0
1
…
k
…
n
p
…
…
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（即n=1的二项分布）
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四、正态分布
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X落在区间(a,b]的概率为:
a
b
X
Y
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特殊区间的概率:
μ-a
μ+a
x=μ
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上述计算结果可用下表和图来表示：
区间
取值概率
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一般地，随机变量ξ的概率分布列为
则称
为 的数学期望或均值，简称为期望.
它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
结论1： 则 ;
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
数学期望的定义:
结论3:若随机变量服从几何分布，则E =1/p
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离散型随机变量取值的方差和标准差:
一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为：
···
···
···
···
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
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性质2：
（1）若 ~两点分布，则D  =p(1-p) ;
（2）若~B(n,P),则D=np(1-p) ;
（3）若～几何分布，则D =(1-p)/p2 .
易证离散型随机变量的方差满足以下性质：
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
A
B
AB
条件概率：
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相互独立事件的定义:
设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即 ), 则称事件A与事件B相互独立.
显然:
(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.
①
②
③
(2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
(2)相互独立事件:
指在不同试验下的两个事件互不影响.
(1)互斥事件:
指同一次试验中的两个事件不可能同时发生.
注：
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(2)一般地,如果事件A 1,A2,…,An 两两相互独立,那么这n个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积，即
注:(1)若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件相互独立，
则称事件 A1，A2 ，… ，An 两两相互独立.
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n次独立重复试验:
一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征，
第一：每次试验是在同样条件下进行;
第二：各次试验中的事件是相互独立的;
第三:每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.
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n 次独立重复试验的公式:
注:n 为重复试验的次数；p是在1次试验中某事件A发生的概率