高等数学复旦大学出版第三版上册课后答案习题全(陈策提供).doc

****题一
1. 下列函数是否相等,为什么?
解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等.
因为函数的定义域是,而函数的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.
2. 求下列函数的定义域
解: (1)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是.
(2)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是.
(4)要使函数有意义,必须
即
即或,(k为整数).
也即(k为整数).
所以函数的定义域是, k为整数.
3. 求函数的定义域与值域.
解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当时,可以是不为零的任意实数,此时,可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].
4. 没,求
解: ,
,求.
解:
6. 设,求和.
解:
7. 证明:和互为反函数.
证:由解得,
故函数的反函数是,这与是同一个函数,所以和互为反函数.
8. 求下列函数的反函数及其定义域:
解: (1)由解得,
所以函数的反函数为.
(2)由得,
所以,函数的反函数为.
(3)由解得
所以,函数的反函数为.
(4)由得,又,故.
又由得,
即,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数的反函数为.
9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:
解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当时,有,当时,有,
.
又因为函数为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数有界.
又由知,当且时,,而
当且时,.
故函数在定义域内不单调.
(2)函数的定义域为(0,+∞),
且,使.
取,则有,
所以函数在定义域内是无界的.
又当时,有
故.
即当时,恒有,所以函数在内单调递增.
10. 判断下列函数的奇偶性:
解: (1)
是偶函数.
(2)
函数是奇函数.
11. 设定义在(-∞,+∞)上,证明:
(1) 为偶函数; (2)为奇函数.
证: (1)设,则,
有
故为偶函数.
(2)设则,
有
故为奇函数.
12. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半).
解: 设年销售批数为x, 则准备费为103x;
又每批有产品件,库存数为件,库存费为元.
设总费用为,则.
13. 邮局规定国内的平信,,不足20 g按20 g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.
解: 当x能被20整除,即时,邮资;
当x不能被20整除时,即时,由题意知邮资.
综上所述有
其中,分别表示不超过,的最大整数.
14. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40°,,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.
图1-1
解:
从而.
由得定义域为.
15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?
解: (1)是由复合而成.
(2)是由复合而成.
(3)是由复合而成.
(4)是由复合而成.
16. 证明:
证: (1)由得
解方程得,
因为,所以,
所以的反函数是
(2)由得,得;
又由得,
所以函数的反函数为
17. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:
解: 当时,.
,
当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于,趋向于0,趋向于.
,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.
18. 对下列数列求,并对给定的确定正整数,使对所有,有:
解: ,,要使,,则当时,必有.
当时,或大于1000的整数.
,,要使
只要即即可.
取,则当时,有.
当时, 或大于108的整数.
19. 根据数列极限的定义证明:
证: ,要使,,则当n>N时,.
(2) ,要使只要,取,则当
n>N时,.
(3) ,要使,只要,取,则当n>N时,恒有,从而.
(4)因为对于所有的正整数n,有,故,不防设,要使只要取则当时,恒有故.
20. 若,证明,并举反例说明反之不一定成立.
证: ,由极限