D3_3泰勒泰勒 ( Taylor )公式.ppt

二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立机动目录上页下页返回结束三、泰勒公式的应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒( Taylor ) 公式第三章特点: )( 01xp ?)( 0xf?)( 0xf ??一、泰勒公式的建立)(xf x y)(xfy?o ) )(()( 000xxxfxf????)( 1xp以直代曲 0x )( 1xp )( 01xp在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x x的一次多项式机动目录上页下页返回结束 1. 求n次近似多项式要求:,)(xp n)( 0!2 12xpa n???,)( 0xf ???,?)( 0 )(! 1xpa nnn n?)( 0 )(xf n?故?)(xp n )( 0xf) )(( 00xxxf?????!2 1! 1nnnxxxf) )(( 00 )(??! 1n 200) )((xxxf????!2 1 机动目录上页下页返回结束令?)(xp n 则??)(xp n???)(xp n ????nan!?)( )(xp nn)( 00xpa n?,)( 0xf?,)()( 00xfxp n?)( 01xpa n??,)( 0xf ?? 1a)(2 02xxa?? 10)( ???? nnxxan? 2!2a 20)()1( ????? nnxxann?,)()( 00xfxp n???)()(, 0 )(0 )(xfxp nnn?? 0a nnxxaxxaxxa)()()( 0 20201????????) 0( 之间与在 nx??)( )( 10 ??? n nxx xR)(2)1( )( 0 )(xn R n n nn?????? 2. 余项估计)()()(xpxfxR nn??令(称为余项) ,)( 0xR n)( 0xR n??0)( 0 )(???xR nn? 10)( )( ?? n nxx xR n nxn R) )(1( )( 01 1??????) )(1( )( 01 1n nxn R?????? 102 2)()1( )( ?????? n nxnn R????!)1( )( )1(???n R nn?则有)( 0xR n?0?)( 0xR n??0?)( 0 )(xR nn?0? x) 01( 之间与在xx?) 1 02( 之间与在??x 机动目录上页下页返回结束)()()(xpxfxR nn?? 10)( )( ?? n nxx xR!)1( )( )1(???n R nn?) 0( 之间与在xx?,0)( )1(??xp nn? 10 )1()(!)1( )()( ????? n nnxxn fxR ?)()( )1()1(xfxR nnn ????时的某邻域内当在 Mxfx n??)( )1(0) 0( 之间与在xx? 10!)1( )( ???? nnxxn MxR)()) (()( 00xxxxoxR nn????机动目录上页下页返回结束公式①称为的n阶泰勒公式. )(xf公式②称为 n阶泰勒公式的拉格朗日余项. 泰勒中值定理:内具有的某开区间在包含若),()( 0baxxf1?n直到阶的导数,),(bax?时, 有?)(xf )( 0xf) )(( 00xxxf??? 20 0)(!2 )(xx xf?????? n nxxn xf)(! )( 0 0 )(??)(xR n?①其中 10 )1()(!)1( )()( ????? n nnxxn fxR ?②则当) 0( 之间与在xx?泰勒目录上页下页返回结束公式③称为 n阶泰勒公式的佩亚诺( Peano ) 余项. 在不需要余项的精确表达式时, 泰勒公式可写为???)(xf )( 0xf) )(( 00xxxf??? 20 0)(!2 )(xx xf???? n nxxn xf)(! )( 0 0 )(??]) [( 0 nxxo??]) [()( 0 nnxxoxR??注意到③④* 可以证明: 阶的导数有直到在点 nxxf 0)( ④式成立机动目录上页下页返回结束特例:( 1) 当n = 0 时, 泰勒公式变为?)(xf)( 0xf) )(( 0xxf????( 2) 当n = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理?)(xf )( 0xf) )(( 00xxxf??? 20)(!2 )(xx f?????可见?)(xf )( 0xf) )(( 00xxxf??? 201)(!2 )()(xx fxR?????误差?)(xf )( 0xf) )(( 00xxxf????? 10 )1()(!)1( )( ????? n nxxn f? 20 0)(!2 )(xx xf???? n nxxn xf)(! )( 0 0