第2章 状态方程与输出方程.ppt

现代控制理论
电子与信息工程学院
主讲人：赫健
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状态空间描述的概念
一般时域描述化为状态空间描述
频域描述化为状态空间描述
根据状态变量图列写状态空间描述
根据方块图导出状态空间描述
将状态方程化为规范形式
小结
第2章 状态方程与输出方程
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系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入-输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入-单输出系统极为有效，可从传递函数的零极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛应用。但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量，因此传递函数不能包含系统的所有信息。由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入-多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法——状态空间分析法。
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第2章 状态方程与输出方程
状态空间描述的概念
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一、基本定义
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，u为输入变量，uc为输出变量，试求其数学描述。

解：由图分析可知
列写该回路的微分方程为
RLC网络图
第一种形式的数学描述
第二种形式的数学描述
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一阶微分方程组表示形式为
向量矩阵方程表示形式为
传递函数表示形式为
第三种形式的数学描述
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，系统的描述可分为外部描述和内部描述两种。
外部描述(输入-输出描述)：描述的前提是把系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系，即输入-输出间的因果关系。表征这种描述的数学方法为传递函数表示式。
内部描述：是基于系统内部分析的一类数学模型，它需要有两个数学方程来组成。一个是反映系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的数学表达式，称状态方程；另一个是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换关系的数学表达式，称输出方程。
传递函数
向量矩阵方程
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同时可以建立以下几个基本概念。
1、状态变量
状态变量是能够完整地准确地描述系统的时域行为的最小一组变量。即 、 、…、 。
满足：
① 在任何时刻t=t0，这组状态变量的值 、 、 … 、
都表示系统在该时刻的状态；
② 只要t0时状态已知，t>t0时的输入电压u(t)已知，则今后的运动状态也唯一地确定了。
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2、状态向量
以状态变量为分量组成的向量称为状态向量。即
3、状态空间
以各状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。
4、状态空间描述
在状态空间中建立的描述系统性能的数学模型，包括状态方程和输出方程。
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二、状态空间描述的建立
通过实际的物理模型来了解系统的建模步骤及思想，同时说明状态变量的特点。
，外力u(t)为系统的输入量，位移y(t)为系统的输出量，试求其数学描述。

机械系统图
解：根据牛顿第二定律分析可得
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建立步骤
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令 、 ，则动态方程为
则系统的状态空间描述为
1、由已知条件分析得出系统的微分方程；
2、确定系统的状态变量；
3、列写系统的状态空间描述。
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