[高等教育]数学建模与数学技术的应用介绍.ppt

提 纲
数学模型与数学建模过程
科学计算与数学模型求解
科学计算与数学软件系统的使用
数学技术的应用——差分方法建模
掌握数学技术迎接时代发展的挑战
我们团队的应用数学研究之路
Mathematical Model & Mathematical Modeling
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物,它集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
数学模型是对客观事物的部分、方面或特性，根据其内在规律，作出必要的简化、假设，运用数学符号、语言等数学工具描述的作为原型替代物的一个数学结构。
数学建模是建立数学模型的全过程，包括对客观事物进行分析、简化、假设、运用适合数学工具表述、求解、解释、检验等。
数学建模是应用数学技术解决是问题的关键步骤和核心内容。
现实问题的信息
数学模型
现实问题的解答
数学模型的解答
求解
解释
验证
实践
现实世界
数学世界
理论
实践
求解方法
演绎法
数值法
数值解
解析解
？
表述
数学建模现实世界与数学世界联系的桥梁
数学建模的一般步骤与意义
分析问题
提出假设
应用与推广
求解模型
解的分析
检验和验证
建立模型
作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域的渗透，以及计算机的出现与飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视，数学建模在解决现实世界的实际问题中有着重要意义。
在传统工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地
在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具
美国科学院一位院士总结了将数学转化为生产力过程中的成功和失败，得出了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”的结论，认为数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力是有重要意义”，而“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径”。
数学建模技术是数学建模的相关知识、方法和技巧。
科学计算和数学建模技术是数学技术的核心内容，数学技术的应用依赖于计算机技术的发展。
科学计算与数学模型求解
算法：是指将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性及其误差进行分析、计算。
(1) 科学计算与数学建模求解关系
求解方法
演绎法
数值法
数值解
解析解
(2) 模型的数值求解与误差
（3）误差的种类及其来源
误差的种类
模型误差
观测误差
截断误差
舍入误差
误差分析
例1
1 2 3 4
序 号
算 式
计 算 结 果
1
按不同算式和近似值计算出的结果各不相同
初始误差和算法的选定对计算结果的精确度影响很大
大小相近的同号数相减
数值计算中应避免
除数接近于零
乘数的绝对值很大
数值算法的构造、算法的收敛性和稳定性
量级级差很大的数直接相加减
科学计算与数学软件系统的使用
常用算法
1) 蒙特卡罗算法: 该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是一种常用的方法.
2) 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法: 在实际问题中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具.
3) 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题: 大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现.