完整版f分布t分布和卡方分布.doc

常用的分布及其分位数 § 1. 卡平方分布
分布都是由正态分布所导出的分t分布及F 卡平方分布、 布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。2?的相互独立且都服从XnN(0,1)时，Z= 、 当X、X、…X21ii??的分布称为自由度等于n，它的分分布，记作Z～(n)22zn???11 22?z0?,xze )= 布密度p( n?n??? 2?2?? ?2???,其他0,?n1?n????u??? ，函数，且=1式中的=，称为Gamma2udue1????? 02??1???。=πZY与分布是非对称分布，具有可加性，即当2??? 2?????～相互独立，且Yn+mmn (～。())，则Y+Z(～)，Z222、、、X相互独X、X、X、X 证明: 先令X、n+mn+n+n……2211?再根据立且都服从N(0,1)，分布的定义以及上述随机变量2 的相互独立性，令 +X，+Y=X+X，Z=X+X +X+ ……222222mn?n?12n?n12 ，++X+ X+X+X +X+ Y+Z= X……222222mn?1n?2?nn21?～ 即可得到Y+Z mn +。()2 与Y相互独立，且分布 2. t 若X
?Y的分布称为自由度Y～N(0,1)，～ XnZ =(，则)2Xnn t (，它的分布密度) t等于n的分布，记作Z ～1?nn?12)(????zP(z)= 。 2??2?1?? nn)?n(??2


t请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时， 分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时， t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。??～X与Y相互独立，且 3. F分布 若Xmn )～，(()，Y22YXn第二自由度等于Z=的分布称为第一自由度等于 则、mnmmn 的F分布，记作Z～F ( , )，它的分布密度mn?nmn???? 1?22?nm?? ? 2z2???p(z)= 0z?,?? m?nmn??????????? 2)nz(m?22??????。其他0,?分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度F请注意：1m ,nnm , ))时，～F (。的次序有关，当Z～F ( Z F分布的关系4. t分布与2nn F(1,)，则Y=X～。)若X～t(1n???1?n???2??? x2??xn )，。)=的分布密度证：X～t(p( X ??2?1?? nn?????nπ?? 2??yyy }< Y=X的分布函数F() =P{Y<。}=P{X 22Y?yy)y ；时，F()=0=0，p 当(0YYyy}
当) =P{->0时，F(<X<yyYyyxdxpxpxd ==2，))((??0y?n1n?1?? 1?2?n?? 2y22??y p( Y=X)=的分布密度 ，?Y n?1n1?????????? 2)?ny(22????

与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密2n )Y=X～F(1,。度相同，因此以上三个分布的分布函数值都可以从各 为应