一类Lévy过程驱动的随机微分方程在可分Banach空间的解的.doc

一类Lévy过程驱动的随机微分方程在可分Banach空间的解的存在唯一性基金项目:湖南省自科基金(12JJ4001),湖南科技大学校级教改项目(G31416)作者简介:尹湘锋(1976-),男,湖南邵阳人,博士,副教授,主要从事随机分析及其应用研究,概率统计教学研究;李亮(1985-),男,湖南湘潭人,硕士生,主要研究随机微分方程理论及其应用。尹湘锋李亮(湖南科技大学数学与计算科学学院,湖南湘潭411201)摘要:本文主要讨论了Lévy过程驱动的随机微分方程解的存在唯一性。当驱动随机微分方程的Lévy过程的跳的跳率不为常数,而是一个与系统相关的函数时,方程在一个可分Banach空间即2次型空间中,系数在一定条件下解的存在性和唯一性。关键词:Lévy过程;型空间;解的存在性;解的唯一性中图分类号:O19,ô提出的对随机过程的Itô积分。经过几十年的发展,随机微分方程已经成为了一个在工程和经济学中非常有用的工具,被广泛应用到系统科学、工程控制、生态学以及金融经济学领域。对于维纳过程驱动的随机微分方程,现在已经有很多学者对此进行了研究,如DaPrato和Zabczyk在文献[1]中对无穷维空间的随机偏微分方程的解的存在性和唯一性及其它的相关性质进行了研究;刘凯在[2]中研究了维纳过程驱动的随机微分方程的稳定性;其他还有很多研究者利用Malliavin分析研究了维纳过程驱动的随机微分方程解关于Lebesgue测度的绝对连续性以及解的分布函数的光滑性。当然更多关于维纳过程驱动的随机微分方程的研究可以参看相关的参考文献。对于带跳的Lévy过程驱动的随机微分方程,由于带跳的Lévy过程更能模拟实际,尤其是金融中的相关利率或股价波动,因而近年来对带跳的Lévy过程驱动的随机微分方程的研究成为一个热点。文献[3]对带跳的随机微分方程理论以及在金融和控制中的应用做了研究,文献[4,5]中对可分Banach空间次型空间中Poisson随机测度驱动的随机微分方程解的存在唯一性进行了研究。上述研究中,Lévy过程的跳率皆为常数。当跳率不为常数时,文献[6,7]研究了在一定条件下一维随机微分方程解的关于Lebesgue测度的绝对连续性和相关光滑性,即如下方程 ()方程()中,跳率函数不为常数时。从物理的角度来看,为常数时候为一些特殊情况,而实际上常常不为常数,如描述气体中粒子运动的Boltzman方程中,两个粒子的碰撞率很大程度上是依赖于粒子本身的速度而非常数。本文主要讨论方程()在一个可分Banach空间即2次型空间中,当方程的系数在一定条件下解的存在性和唯一性。首先给出2次型空间的定义。,模为。如果存在一个常数使得任一-值鞅有下列不等式成立其中,则称空间为2次型空间。这一定义可以参考文献[4,5]。显然,2次型空间是可分的Banach空间。2解的存在性与唯一性这一节中,主要利用不动点理论讨论方程()解的存在性和唯一性。首先给出相应的空间,令为完备概率空间,为2次型空间。随机过程,若是适应的,同时满足将所有满足以上条件的随机过程构成的空间记为,取模,则在模下可以得到一个可分的Banach空间 对方程()可以写成如下的积分方程()其中为一可分Bana